第十五屆“華杯賽”決賽真題A卷答案(小學(xué))
填空題。
1、173
2、19
3、425
4、5
5、223，3
6、32
7、3
8、4
二、解答下列各題
9、不可以。
解：對(duì)4×5的長(zhǎng)方形黑白間隔染色，共有10黑10白。那5個(gè)小正格硬紙板，“L”型會(huì)占2黑2白，“Z”型會(huì)占2黑2白，“田”型會(huì)占2黑2白，“1”型會(huì)占2黑2白，“土”型會(huì)占1黑3白或3黑1白，這樣總共會(huì)占掉9黑11白或11黑9白，與10黑10白矛盾。所以不行。
10、28，L/72
11、至多7分，至少得5分
12、有。
解：顯然16424不是質(zhì)數(shù)。對(duì)于1163，依次用2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31去除，發(fā)現(xiàn)都不能整除，所以1163是質(zhì)數(shù)。
13、670
14、36，24，12，15，11
2010年第十五屆華杯賽決賽試題答案與解析（小學(xué)組）競(jìng)賽信息 2010-04-10 12:40:17 閱讀1483 評(píng)論30 字號(hào)：大中小
第十五屆華羅庚金杯少年隊(duì)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽決賽試題A（小學(xué)組）
一、填空題（每小題10分，共80分）
1.在10個(gè)盒子中放乒乓球，每個(gè)盒子中的球的個(gè)數(shù)不能少于11，不能是13，也不能是5的倍數(shù)，且彼此不同，那么至少需要 173 個(gè)乒乓球。
解：11+12+14+16+17+18+19+21+22+23=173
2.有五種價(jià)格分別為2元、5元、8元、11元、14元的禮品以及五種價(jià)格分別為1元、3元、5元、7元、9元的包裝盒。一個(gè)禮品配一個(gè)包裝盒，共有 19 種不同價(jià)格。
解：5x5-6=19（9、12、15、11、14、17重復(fù)）
3.汽車(chē)A從甲站出發(fā)開(kāi)往乙站，同時(shí)汽車(chē)B、C從乙站出發(fā)與A相向而行開(kāi)往甲站，途中A與B相遇20分鐘后再與C相遇。已知A、B、C的速度分別是每小時(shí)90km，80km，60km，那么甲乙兩站的路程是 425 km。
解：AC相遇時(shí)，BC間距離為（90+80）x13 =1703
此時(shí)B共行進(jìn)了1703 ÷（80-60）=176 小時(shí)，則AB相遇時(shí)A、B行進(jìn)了176 —13 =52 小時(shí)，所以總路程為（90+80）x52 =425km
4.將12 、13 、14 、15 、16 、17 和這6個(gè)分?jǐn)?shù)的平均值從小到大排列，則這個(gè)平均值排在第5位。
解：平均值為223840 ，比較可得。
5.將一個(gè)數(shù)的各位數(shù)字相加得到新的一個(gè)數(shù)稱(chēng)為一次操作，經(jīng)連續(xù)若干次這樣的操作后可以變?yōu)?的數(shù)稱(chēng)為“好數(shù)”，那么不超過(guò)2012的“好數(shù)”的個(gè)數(shù)為 223 ，這些“好數(shù)”的最大公約數(shù)是 3 。
解：“好數(shù)”實(shí)際上是對(duì)于模9同余6的數(shù),因此在1~2012中共有（2012-5）÷9=223個(gè)
所有好數(shù)都是3的倍數(shù)，參照前2個(gè)好數(shù)6、15可得，最大公約數(shù)只能為3.
6.右圖所示的立體圖形由9個(gè)棱長(zhǎng)為1的立方塊搭成，這個(gè)立體圖形的表面積為 32 。
解：從3個(gè)方向數(shù)出各自的面積為5+6+5=16
則6個(gè)面一共為16x2=32
7.數(shù)字卡片“3”、“4”、“5”各10張，任意選出8張使它們的數(shù)字和事33，則最多有 3 張是卡片“3”。
解：設(shè)8張全用3則3x8=24，不足33. 33-24=9
因此要用“4”或“5”來(lái)替換“3”顯然盡可能多用“5”更劃算
所以每用一張5可使結(jié)果增加2
所以9÷2=4??1
所以用4張5和1張4替換掉5個(gè)3，還剩下3個(gè)3是最多的情況。
8.若將算式11x2 —13x4 +15x6 —17x8 +?—12007x2008 +12009x2010 的值化為小數(shù)，則小數(shù)點(diǎn)后第1個(gè)數(shù)字是 4 。
解：原式的小數(shù)部分第一位是4。
二、解答下列各題（每題10分，共40分，要求寫(xiě)出簡(jiǎn)要過(guò)程）
9.右圖中有5個(gè)由4個(gè)1x1的小正方格組成的不同形狀的硬紙板。問(wèn)能用這5個(gè)硬紙板拼成右圖中4x5的長(zhǎng)方形嗎？如果能請(qǐng)畫(huà)出一種拼法；如果不能請(qǐng)簡(jiǎn)述理由。
不可以。
解：對(duì)長(zhǎng)方形黑白間隔染色，共有10黑10白。那5個(gè)小正格硬紙板，“L”型會(huì)占2黑2白，“Z”型會(huì)占2黑2白，“田”型會(huì)占2黑2白，“1”型會(huì)占2黑2白，“土”型會(huì)占1黑3白或3黑1白，這樣總共會(huì)占掉9黑11白或11黑9白，與10黑10白矛盾。所以不行。
10.長(zhǎng)度為L(zhǎng)的一條木棍，分別用紅、藍(lán)、黑線將它等分為8，12和18段，在各劃分線處將木棍鋸開(kāi)，問(wèn)一共可以得到多少段？其中最短的一段長(zhǎng)是多少？
解：按紅、藍(lán)、黑線劃分后的長(zhǎng)度分別為原廠的18 、112 、118 則格局容斥原理可得：
[18 ,112 ]=14 ；[18 ,118 ]=12 ；[18 ,112 ,118 ]=12
則可知共可分38-6-4-2=26段，
最短一段：
因?yàn)椋?8 ，112 ，118 ）=172 它們的最大公約數(shù)為172
所以最短的一段一定大于172 ，不難組合出18 第一段與118 的第二段之間可截出
18 —218 =18 —19 =172 x2
所以最短為L(zhǎng)/72
另：可設(shè)L長(zhǎng)度為72，把分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為整數(shù)更簡(jiǎn)便
11.足球隊(duì)A，B，C，D進(jìn)行單循環(huán)賽（每?jī)申?duì)賽一場(chǎng)），每場(chǎng)比賽勝隊(duì)得3分，負(fù)隊(duì)得0分，平局兩隊(duì)各得1分，若A，B，C，D隊(duì)總分分別是1，4，7，8，請(qǐng)問(wèn)：E隊(duì)至多得幾分？至少得幾分？
至多7分，至少得5分。
解：總共塞了10場(chǎng)，10場(chǎng)中有些是平局，有些是勝負(fù)局，而平局時(shí)雙方只能得到2分，勝負(fù)雙方能得3分。所以要想使E得分最多或最少，也就是要讓總分最多或最少。
總分最多時(shí)，平局最少。A最少平1局，B最少平1局，C最少平1局，D最少平2局，由于一場(chǎng)平局被兩支隊(duì)伍算了兩次，所以平局?jǐn)?shù)的和必須是偶數(shù)，因此E最少平1局，所以E隊(duì)最多得7分。
總分最少時(shí)，平局最多。A最多平1局，B最多平4局，C最多平1局，D最多平2局，同理平局?jǐn)?shù)的和必須是偶數(shù)，因此E最多平4局，但是這樣的情況是不可能達(dá)到的，因?yàn)锽和E與其他四隊(duì)都平的話，A、C不可能只平1局。因此E最多平2局，所以E隊(duì)最多得5分。
12.華羅庚爺爺出生于1910年11月12日。將這些數(shù)字排成一個(gè)整數(shù)，并且分解成19101112=1163x16424.請(qǐng)問(wèn)這兩個(gè)數(shù)1163和16424中有質(zhì)數(shù)嗎？并說(shuō)明理由。
有。
解：顯然16424不是質(zhì)數(shù)。對(duì)于1163，依次用2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31去除，發(fā)現(xiàn)都不能整除，所以1163是質(zhì)數(shù)。
三、解答下列各題（每小題15分，共30分，要求寫(xiě)出詳細(xì)過(guò)程）
13.右圖中，六邊形ABCDEF的面積是2010平方厘米，已知△ABC △BCD △CDE △DEF △EFA △FAB的面積都等于335平方厘米，6個(gè)陰影三角形面積之和為670平方厘米。求六邊形A1B1C1D1E1F1的面積。
670
14.已知兩位自然數(shù)虎威能被他的數(shù)字之積整除，求出虎威代表的兩位數(shù)。
36、24、15、12、11
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