來源:初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽 2005-09-09 16:09:35
方程ax2+bx+c=0(a≠0)稱為一元二次方程.
一元二次方程的基本解法有開平方法、配方法、公式法和國式分解法.
對(duì)于方程ax2+bx+c=0(a≠0),△=b2-4ac稱為該方程的根的判別式.當(dāng)△>0時(shí),方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,即
當(dāng)△=0時(shí),方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,即
當(dāng)△<0時(shí),方程無實(shí)數(shù)根.
分析 可以使用公式法直接求解,下面介紹的是采用因式分解法求解.
因?yàn)?/P>
所以
例2 解關(guān)于x的方程:
x2-(p2+q2)x+pq(p+q)(p-q)=0.
解 用十字相乘法分解因式得
[x-p(p-q)][x-q(p+q)]=0,
所以x1=p(p-q),x2=q(p+q).
例3 已知方程(2000x)2-2001×1999x-1=0的較大根為a,方程x2+1998x-1999=0的較小根為β,求α-β的值.
解 由方程(2000x)2-2001×1999x-1=0得
(20002x+1)(x-1)=0,
(x+1999)(x-1)=0,
故x1=-1999,x2=1,所以β=-1999.所以
α-β=1-(-1999)=2000.
例4 解方程:(3x-1)(x-1)=(4x+1)(x-1).
分析 本題容易犯的錯(cuò)誤是約去方程兩邊的(x-1),將方程變?yōu)?/FONT>
3x-1=4x+1,
所以x=-2,這樣就丟掉了x=1這個(gè)根.故特別要注意:用含有未知數(shù)的整式去除方程兩邊時(shí),很可能導(dǎo)致方程失根.本題正確的解法如下.
解 (3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-1)=0,
(x-1)[(3x-1)-(4x+1)]=0,
(x-1)(x+2)=0,
所以 x1=1,x2=-2.
例5 解方程:x2-3|x|-4=0.
分析 本題含有絕對(duì)值符號(hào),因此求解方程時(shí),要考慮到絕對(duì)值的意義.
解法1 顯然x≠0.當(dāng)x>0時(shí),x2-3x-4=0,所以x1=4,x2=-1(舍去).當(dāng)x<0時(shí),x2+3x-4=0,所以x3=-4,x4=1(舍去).
所以原方程的根為x1=4,x2=-4.
解法2 由于x2=|x|2,所以
|x|2-3|x|-4=0,
所以 (|x|-4)(|x|+1)=0,
所以 |x|=4,|x|=-1(舍去).
所以 x1=4,x2=-4.
例6 已知二次方程
3x2-(2a-5)x-3a-1=0
有一個(gè)根為2,求另一個(gè)根,并確定a的值.
解 由方程根的定義知,當(dāng)x=2時(shí)方程成立,所以
3×22-(2a-5)×2-3a-1=0,
故a=3.原方程為
3x2-x-10=0,即(x-2)(3x+5)=0,
例7 解關(guān)于x的方程:ax2+c=0(a≠0).
分析 含有字母系數(shù)的方程,一般需要對(duì)字母的取值范圍進(jìn)行討論.
當(dāng)c=0時(shí),x1=x2=0;
當(dāng)ac>0(即a,c同號(hào)時(shí)),方程無實(shí)數(shù)根.
例8 解關(guān)于x的方程:
(m-1)x2+(2m-1)x+m-3=0.
分析 討論m,由于二次項(xiàng)系數(shù)含有m,所以首先要分m-1=0與m-1≠0兩種情況(不能認(rèn)為方程一定是一元二次方程);當(dāng)m-1≠0時(shí),再分△>0,△=0,△<0三種情況討論.
解 分類討論.
(1)當(dāng)m=1時(shí),原方程變?yōu)橐辉淮畏匠?/FONT>
x-2=0,
所以x=2.
(2)當(dāng)m≠1時(shí),原方程為一元二次方程.
△=(2m-1)2-4(m-1)(m-3)=12m-11.
例9 解關(guān)于x的方程:
a2(x2-x+1)-a(x2-1)=(a2-1)x.
解 整理方程得
(a2-a)x2-(2a2-1)x+(a2+a)=0.
(1)當(dāng)a2-a≠0,即a≠0,1時(shí),原方程為一元二次方程,因式分解后為
[ax-(a+1)][(a-1)x-a]=0,
(2)當(dāng)a2-a=0時(shí),原方程為一元一次方程,當(dāng)a=0時(shí),x=0;當(dāng)a=1時(shí),x=2.
例10 求k的值,使得兩個(gè)一元二次方程
x2+kx-1=0,x2+x+(k-2)=0
有相同的根,并求兩個(gè)方程的根.
解 不妨設(shè)a是這兩個(gè)方程相同的根,由方程根的定義有
a2+ka-1=0, ①
a2+a+(k-2)=0. ②
①-②有
ka-1-a-(k-2)=0,
即 (k-1)(a-1)=0,
所以k=1,或a=1.
(1)當(dāng)k=1時(shí),兩個(gè)方程都變?yōu)?/FONT>x2+x-1=0,所以兩個(gè)方程有兩個(gè)相同的根
沒有相異的根;
(2)當(dāng)a=1時(shí),代入①或②都有k=0,此時(shí)兩個(gè)方程變?yōu)?/FONT>
x2-1=0,x2+x-2=0.
解這兩個(gè)方程,x2-1=0的根為x1=1,x2=-1;x2+x-2=0的根為x1=1,x2=-2.x=1為兩個(gè)方程的相同的根.
例11 若k為正整數(shù),且關(guān)于x的方程
(k2-1)x2-6(3k-1)x+72=0
有兩個(gè)不相等的正整數(shù)根,求k的值.
解 原方程變形、因式分解為
(k+1)(k-1)x2-6(3k-1)x+72=0,
[(k+1)x-12][(k-1)x-6]=0,
即
4,7.所以k=2,3使得x1,x2同時(shí)為正整數(shù),但當(dāng)k=3時(shí),x1=x2=3,與題目不符,所以,只有k=2為所求.
例12 關(guān)于x的一元二次方程x2-5x=m2-1有實(shí)根a和β,且|α|+|β|≤6,確定m的取值范圍.
解 不妨設(shè)方程的根α≥β,由求根公式得
|α|+|β|=α+β=5<6,
符合要求,所以m2≤1.
例13 設(shè)a,b,c為△ABC的三邊,且二次三項(xiàng)式x2+2ax+b2與x2+2cx-b2有一次公因式,證明:△ABC一定是直角三角形.
證 因?yàn)轭}目中的兩個(gè)二次三項(xiàng)式有一次公因式,所以二次方程x2+2ax+b2=0與x2+2cx-b2=0必有公共根,設(shè)公共根為x0 ,則
兩式相加得
若x0=0,代入①式得b=0,這與b為△ABC的邊不符,所以公共根x0=-(a+c).把x0=-(a+c)代入①式得
(a+c)2-2a(a+c)+bg2=0,
整理得
a2=b2+c2
所以△ABC為直角三角形.
例14 有若干個(gè)大小相同的球,可將它們擺成正方形或正三角形,擺成正三角形時(shí)比擺成正方形時(shí)每邊多兩個(gè)球,求球的個(gè)數(shù).
解 設(shè)小球擺成正三角形時(shí),每邊有x個(gè)球,則擺成正方形時(shí)每邊有(x-2)個(gè)球.此時(shí)正三角形共有球
此時(shí)正方形共有(x-2)2個(gè)球,所以
即 x2-9x+8=0,
x1=1,x2=8.
因?yàn)?/FONT>x-2≥1,所以x1=1不符合題意,舍去.所以x=8,此時(shí)共有球(x-2)2=36個(gè).
練 習(xí) 九
1.解方程:
(2)20x2+253x+800=0;
(3)x2+|2x-1|-4=0.
2.解下列關(guān)于x的方程:
(1)abx2-(a4+b4)x+a3b3=0;
(2)(2x2-3x-2)a2+(1-x2)b2=ab(1+x2).
3.若對(duì)任何實(shí)數(shù)a,關(guān)于x的方程
x2-2ax-a+2b=0
都有實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)b的取值范圍.
4.若方程x2+ax+b=0和x2+bx+a=0有一個(gè)公共根,求(a+b)2000的值.
5.若a,b,c為△ABC的三邊,且關(guān)于x的方程
4x2+4(a2+b2+c2)x+3(a2b2+b2c2+c2a2)=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,試證△ABC是等邊三角形.
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