小游戲：欺騙眼睛的幾何問題

生活中我們常常相信親眼所見，但又常常為自己的眼睛所騙，魔術(shù)就是一個(gè)很好的例子。數(shù)學(xué)中也有這種欺騙我們眼睛的奇妙的數(shù)學(xué)魔術(shù)，請(qǐng)看下面問題1這兩個(gè)圖形，如果將圖1中的四塊幾何圖形裁剪開來重新拼接成圖2，我們將會(huì)發(fā)現(xiàn)，與圖1相比，圖2多出了一個(gè)洞！這怎么可能呢？理性會(huì)提出這樣的疑問。奧妙何在我們姑且按下不表，讓喜歡思考的同學(xué)先動(dòng)動(dòng)腦子。

　　我們還是來看一個(gè)更簡單的問題2吧，將圖3中面積為13×13=169的正方形裁剪成圖中標(biāo)出的四塊幾何圖形，然后重新拼接成圖４，計(jì)算可知長方形的面積為8×21＝168，比正方形少了一個(gè) 單位的面積，真不可思議！

　　這兩個(gè)問題是這樣的令人驚奇和難以理解，值得我們花費(fèi)一些時(shí)間動(dòng)手按照所說的剪裁方法做一做。以問題2為例，我們?cè)诎准埳蠈⒄�方形量好畫出，剪成四塊，重新安排后拼成長方形，除非圖形做得很大并且作圖和剪裁都十分精確，我們一般是不會(huì)發(fā)現(xiàn)拼接成的長方形在對(duì)角線附近發(fā)生了微小的重疊，正是沿對(duì)角線的微小重疊導(dǎo)致了一個(gè)單位面積的丟失。要證實(shí)這一點(diǎn)我們只要計(jì)算一下長方形對(duì)角線的斜率和正方形拼接各片相應(yīng)邊的斜率，比較一下就會(huì)清楚了。

　　問題２中涉及到四個(gè)數(shù)據(jù)5、8、13和21，有一定數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的同學(xué)會(huì)認(rèn)出這是著名的斐波那契數(shù)列中的四項(xiàng)，斐波那契數(shù)列的特征是它的每一項(xiàng)都是前兩項(xiàng)之和：1，1，2，3，5，8，13，21，34，……。我們還可以使用這個(gè)數(shù)列中的其他相鄰四項(xiàng)來試驗(yàn)這個(gè)過程，無論選取哪四項(xiàng)，都可以發(fā)現(xiàn)正方形和長方形的面積是不會(huì)相等的，有時(shí)正方形的面積比長方形多一個(gè)單位面積，有時(shí)則正好相反。多做幾次上述實(shí)驗(yàn)，我們就會(huì)得出斐波那契數(shù)列的一個(gè)重要性質(zhì)：這個(gè)數(shù)列任意一項(xiàng)的平方等于它前后相鄰兩項(xiàng)之積加1或減1。用公式表示就是：。其中表示正方形的面積，表示長方形的面積。知道了這個(gè)事實(shí)，我們就可以自己構(gòu)造類似于問題2的幾何趣題。

　　上面的這個(gè)斐波那契數(shù)列是以1，1兩數(shù)開始的，廣義的斐波那契數(shù)列可以從任意兩數(shù)開始。比如說，用廣義斐波那契數(shù)列2，2，4，6，10，16，……做上述試驗(yàn)，就會(huì)多得或丟失四個(gè)單位的面積。如果用a、b、c表示廣義斐波那契數(shù)列的相鄰三項(xiàng)，以x表示“得”或“失”的數(shù)字，則下列兩式成立：我們還可以來研究這樣一個(gè)有趣的問題：把正方形按上述方法剪成四塊，是否會(huì)拼接成一個(gè)與它面積相等的長方形？要回答這個(gè)問題，可以令方程組中的x等于零，再解之得唯一正解是：。其中恰是著名的黃金分割比，通常用 來表示，它是一個(gè)無理數(shù)，等于1.618033……。這就是說，唯一的每項(xiàng)平方等于前后相鄰兩項(xiàng)之積的斐波那契數(shù)列是：1，，，，，……。要證明它的確是斐波那契數(shù)列，只要證明它等價(jià)于數(shù)列1，，+1，2+1，3+2，……就可以了。只有用這個(gè)數(shù)列相鄰項(xiàng)數(shù)表示的長度來分割正方形，才可以拼出面積不變的長方形。

　　 我們?cè)倩氐絾栴}1，題中涉及到的數(shù)據(jù)1，1，2，3，5，8，13恰是斐波那契數(shù)列的前七項(xiàng)，因此問題１實(shí)際上是問題２的一個(gè)復(fù)雜化版本，計(jì)算一下圖中兩個(gè)大小三角形斜邊的斜率，那么一開始的疑問已不講自明。                  

　　最后再給喜歡思考的同學(xué)提出一個(gè)與前兩個(gè)問題略有不同的問題 3，圖5這個(gè)正方形按圖中標(biāo)出的數(shù)據(jù)分割成了五塊幾何圖形，剪開后重新拼接成圖６，奇怪，又多出了一個(gè)洞！這次斜線處并無疊合，少掉的一個(gè)單位面積哪里去了呢？這個(gè)問題最初是由美國魔術(shù)師保羅?卡瑞提出的，雖然它曾經(jīng)難倒了許多美國人，但相信它難不倒聰明的中國學(xué)生。為幫助大家思考，提示一下：不要忘了計(jì)算！最后送給大家一句華羅庚教授的話作為本文的結(jié)束，“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”。

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