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2022年初中數(shù)學(xué):整式的運(yùn)算

來(lái)源:網(wǎng)絡(luò)資源 2022-07-14 20:23:47

中考真題

智能內(nèi)容

一、整式

單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱整式。

(a)由數(shù)與字母的積組成的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式。單獨(dú)一個(gè)數(shù)或字母也是單項(xiàng)式。

(b)單項(xiàng)式的系數(shù)是這個(gè)單項(xiàng)式的數(shù)字因數(shù),作為單項(xiàng)式的系數(shù),必須連同數(shù)字前面的性質(zhì)符號(hào),如果一個(gè)單項(xiàng)式只是字母的積,并非沒(méi)有系數(shù),系數(shù)為1或-1。

(c)一個(gè)單項(xiàng)式中,所有字母的指數(shù)和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)(注意:常數(shù)項(xiàng)的單項(xiàng)式次數(shù)為0)

(a)幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式。在多項(xiàng)式中,每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)。其中,不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)。一個(gè)多項(xiàng)式中,次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù),叫做這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)。

(b)單項(xiàng)式和多項(xiàng)式都有次數(shù),含有字母的單項(xiàng)式有系數(shù),多項(xiàng)式?jīng)]有系數(shù)。多項(xiàng)式的每一項(xiàng)都是單項(xiàng)式,一個(gè)多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)就是這個(gè)多項(xiàng)式作為加數(shù)的單項(xiàng)式的個(gè)數(shù)。多項(xiàng)式中每一項(xiàng)都有它們各自的次數(shù),但是它們的次數(shù)不可能都作是為這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù),一個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)只有一個(gè),它是所含各項(xiàng)的次數(shù)中最高的那一項(xiàng)次數(shù)。

(a)整式的加減實(shí)質(zhì)上就是去括號(hào)后,合并同類項(xiàng),運(yùn)算結(jié)果是一個(gè)多項(xiàng)式或是單項(xiàng)式。

(b)括號(hào)前面是“-”號(hào),去括號(hào)時(shí),括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)要變號(hào),一個(gè)數(shù)與多項(xiàng)式相乘時(shí),這個(gè)數(shù)與括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)都要相乘。

二、同底數(shù)冪的乘法

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(m,n都是整數(shù))是冪的運(yùn)算中最基本的法則,在應(yīng)用法則運(yùn)算時(shí),要注意以下幾點(diǎn):

(a)法則使用的前提條件是:冪的底數(shù)相同而且是相乘時(shí),底數(shù)a可以是一個(gè)具體的數(shù)字式字母,也可以是一個(gè)單項(xiàng)或多項(xiàng)式;

(b)指數(shù)是1時(shí),不要誤以為沒(méi)有指數(shù);

(c)不要將同底數(shù)冪的乘法與整式的加法相混淆,對(duì)乘法,只要底數(shù)相同指數(shù)就可以相加;而對(duì)于加法,不僅底數(shù)相同,還要求指數(shù)相同才能相加;

(d)當(dāng)三個(gè)或三個(gè)以上同底數(shù)冪相乘時(shí),法則可推廣為

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(其中m、n、p均為整數(shù));

e)公式還可以逆用:

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(m、n均為整數(shù))

(a)冪的乘方法則:

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(m,n都是整數(shù)數(shù))是冪的乘法法則為基礎(chǔ)推導(dǎo)出來(lái)的,但兩者不能混淆。

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(b)(m、n都為整數(shù))。

(c)底數(shù)有負(fù)號(hào)時(shí),運(yùn)算時(shí)要注意,底數(shù)是a與(-a)時(shí)不是同底,但可以利用乘方法則化成同底,如將(-a)3化成-a3

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(d)底數(shù)有時(shí)形式不同,但可以化成相同。

(e)要注意區(qū)別(ab)n與(a+b)n意義是不同的,不要誤以為(a+b)n=an+bn(a、b均不為零)。

(f)積的乘方法則:積的乘方,等于把積每一個(gè)因式分別乘方,再把所得的冪相乘,即(ab)n=anbn(n為正整數(shù))。

(g)冪的乘方與積乘方法則均可逆向運(yùn)用。

五、同底數(shù)冪的除法

(a)同底數(shù)冪的除法法則:同底數(shù)冪相除,底數(shù)不變,指數(shù)相減,即

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(a≠0)。

(b)在應(yīng)用時(shí)需要注意以下幾點(diǎn):

(1)法則使用的前提條件是“同底數(shù)冪相除”而且0不能做除數(shù),所以法則中a0。

(2)任何不等于0的數(shù)的0次冪等于1,即a0=1(a≠0),如100=1,(-2.50=1),則00無(wú)意義。

(c)任何不等于0的數(shù)的-p次冪(p是正整數(shù)),等于這個(gè)數(shù)的p的次冪的倒數(shù),即

初一數(shù)學(xué)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn):整式的加減

(a≠0,p是正整數(shù)),而0-1,0-3都是無(wú)意義的;當(dāng)a>0時(shí),a-p的值一定是正的,當(dāng)a<0時(shí),a-p的值可能是正也可能是負(fù)的,如

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,d)運(yùn)算要注意運(yùn)算順序。

六、整式的乘法

單項(xiàng)式相乘,它們的系數(shù)、相同字母分別相乘,對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母,連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式。

單項(xiàng)式乘法法則在運(yùn)用時(shí)要注意以下幾點(diǎn):

(a)積的系數(shù)等于各因式系數(shù)積,先確定符號(hào),再計(jì)算絕對(duì)值。這時(shí)容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤的是,將系數(shù)相乘與指數(shù)相加混淆;

(b)相同字母相乘,運(yùn)用同底數(shù)冪的乘法法則;

(c)只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母,要連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式;

(d)單項(xiàng)式乘法法則對(duì)于三個(gè)以上的單項(xiàng)式相乘同樣適用;

(e)單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式,結(jié)果仍是一個(gè)單項(xiàng)式。

單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式,是通過(guò)乘法對(duì)加法的分配律,把它轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式,即單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘,就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng),再把所得的積相加。

單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘時(shí)要注意以下幾點(diǎn):

(a)單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘,積是一個(gè)多項(xiàng)式,其項(xiàng)數(shù)與多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同;

(b)運(yùn)算時(shí)要注意積的符號(hào),多項(xiàng)式的每一項(xiàng)都包括它前面的符號(hào);

(c)在混合運(yùn)算時(shí),要注意運(yùn)算順序。

多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘,先用一個(gè)多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)乘以另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)相乘,再把所得的積相加。

多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘時(shí)要注意以下幾點(diǎn):

(a)多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘要防止漏項(xiàng),檢查的方法是:在沒(méi)有合并同類項(xiàng)之前,積的項(xiàng)數(shù)應(yīng)等于原兩個(gè)多項(xiàng)式項(xiàng)數(shù)的積;

(b)多項(xiàng)式相乘的結(jié)果應(yīng)注意合并同類項(xiàng);

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(c)對(duì)含有同一個(gè)字母的一次項(xiàng)系數(shù)是1的兩個(gè)一次二項(xiàng)式相乘(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab,其二次項(xiàng)系數(shù)為1,一次項(xiàng)系數(shù)等于兩個(gè)因式中常數(shù)項(xiàng)的和,常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)因式中常數(shù)項(xiàng)的積。對(duì)于一次項(xiàng)系數(shù)不為1的兩個(gè)一次二項(xiàng)式(mx+a)和(nx+b)相乘可以得到

七、平方差公式

兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積,等于它們的平方差,即

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其結(jié)構(gòu)特征是:

(a)公式左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘,兩個(gè)二項(xiàng)式中第一項(xiàng)相同,第二項(xiàng)互為相反數(shù);

(b)公式右邊是兩項(xiàng)的平方差,即相同項(xiàng)的平方與相反項(xiàng)的平方之差。

八、完全平方公式

兩數(shù)和(或差)的平方,等于它們的平方和,加上(或減去)它們的積的2倍,即

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口訣:首平方,尾平方,2倍乘積在中央;

(a)公式左邊是二項(xiàng)式的完全平方;

(b)公式右邊共有三項(xiàng),是二項(xiàng)式中二項(xiàng)的平方和,再加上或減去這兩項(xiàng)乘積的2倍。

(c)在運(yùn)用完全平方公式時(shí),要注意公式右邊中間項(xiàng)的符號(hào),以及避免出現(xiàn)

這樣的錯(cuò)誤。

九、整式的除法

單項(xiàng)式相除,把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除,作為商的因式,對(duì)于只在被除式里含有的字母,則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式;

多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式,先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以單項(xiàng)式,再把所得的商相加,其特點(diǎn)是把多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式,所得商的項(xiàng)數(shù)與原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同,另外還要特別注意符號(hào)。

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