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2022年初中數(shù)學(xué)用圖形法解答二元一次方程組問題

來源:網(wǎng)絡(luò)資源 2022-09-06 10:54:48

中考真題

智能內(nèi)容

圖形法秒解含參二元一次方程組問題

已知a≠6,若方程組

的解x、y為正數(shù),求a的范圍。

[思路分析]

這是一個(gè)典型的含參二元一次方程的解的問題,根據(jù)常規(guī)思路,先解方程,得到含有參數(shù)a的方程的解,然后另對(duì)應(yīng)的x、y大于零,求解a的范圍即可。

[解答]

以上常規(guī)解法屬于代數(shù)法,也不算太復(fù)雜,初二階段的同學(xué)要逐步適應(yīng)代數(shù)式的計(jì)算,包括等式和不等式。當(dāng)然,對(duì)于含參不等式,還要注意符號(hào),考慮變號(hào)的問題。有時(shí)候稍微繁瑣一點(diǎn),須注意不要出錯(cuò)。對(duì)于本題,采用圖形解法要方便快捷不少。

教材上說:“一般地,以一個(gè)二元一次方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)組成的圖像,與相應(yīng)的一次函數(shù)的圖像相同,是一條直線”,教材上還說:“一般地,從圖形的角度看,...解一個(gè)二元一次方程組相當(dāng)于確定相應(yīng)的兩條直線交點(diǎn)的坐標(biāo)”。

據(jù)此,有以下圖形解法,請(qǐng)看解析。

[解析]

1. 由題意,方程組的解為正數(shù),從圖形角度看,就是相應(yīng)的兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)在第一象限內(nèi)。因此我們先把原方程組做個(gè)變換,得到兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的一次函數(shù)的解析式形式:

可見,這兩條直線的截距都是固定的,其中一條直線為定直線,另一條直線的斜率隨參數(shù)a變化。

2. 易得,定直線與x、y軸的交點(diǎn)分別為(2,0),(0,3),動(dòng)直線與y軸的交點(diǎn)位(0,2),畫出兩條直線,如下圖:

3. 觀察圖像可以看出,根據(jù)參數(shù)a不同,動(dòng)直線繞點(diǎn)(0,2)旋轉(zhuǎn)。當(dāng)兩直線交于點(diǎn)(2,0),動(dòng)直線斜率為-1,如圖中紅線所示。若動(dòng)直線逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),斜率增加,交點(diǎn)就一定在第一象限,否則交點(diǎn)在二或四象限,故有:

當(dāng)原方程組的解x、y為正數(shù)時(shí),動(dòng)直線斜率大于-1,即−a4>−1

可得a<4

提示1:理解函數(shù)圖像與方程式的關(guān)系非常重要,特別是初二年級(jí)剛接觸到函數(shù)的概念,這個(gè)概念不容易建立起來,需要多加練習(xí)。

提示2:本題圖像解法需要深入理解并熟練應(yīng)用一次函數(shù)斜率與截距的幾何意義。

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