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2023年初中數(shù)學(xué):幾何模型及構(gòu)造解析

來(lái)源:網(wǎng)絡(luò)資源 2022-11-09 11:52:59

中考真題

智能內(nèi)容

全等變換

平移:平行等線段(平行四邊形)  對(duì)稱:角平分線或垂直或半角  旋轉(zhuǎn):相鄰等線段繞公共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)  對(duì)稱全等模型  說(shuō)明:以角平分線為軸在角兩邊進(jìn)行截長(zhǎng)補(bǔ)短或者作邊的垂線,形成對(duì)稱全等。兩邊進(jìn)行邊或者角的等量代換,產(chǎn)生聯(lián)系。垂直也可以做為軸進(jìn)行對(duì)稱全等! (duì)稱半角模型  說(shuō)明:上圖依次是45°、30°、22.5°、15°及有一個(gè)角是30°直角三角形的對(duì)稱(翻折),翻折成正方形或者等腰直角三角形、等邊三角形、對(duì)稱全等! ⌒D(zhuǎn)全等模型  半角:有一個(gè)角含1/2角及相鄰線段  自旋轉(zhuǎn):有一對(duì)相鄰等線段,需要構(gòu)造旋轉(zhuǎn)全等  共旋轉(zhuǎn):有兩對(duì)相鄰等線段,直接尋找旋轉(zhuǎn)全等  中點(diǎn)旋轉(zhuǎn):倍長(zhǎng)中點(diǎn)相關(guān)線段轉(zhuǎn)換成旋轉(zhuǎn)全等問(wèn)題  旋轉(zhuǎn)半角模型  說(shuō)明:旋轉(zhuǎn)半角的特征是相鄰等線段所成角含一個(gè)二分之一角,通過(guò)旋轉(zhuǎn)將另外兩個(gè)和為二分之一的角拼接在一起,成對(duì)稱全等! ∽孕D(zhuǎn)模型  構(gòu)造方法:  遇60度旋60度,造等邊三角形  遇90度旋90度,造等腰直角  遇等腰旋頂點(diǎn),造旋轉(zhuǎn)全等  遇中點(diǎn)旋180度,造中心對(duì)稱  共旋轉(zhuǎn)模型說(shuō)明:旋轉(zhuǎn)中所成的全等三角形,第三邊所成的角是一個(gè)經(jīng)?疾斓膬(nèi)容。通過(guò)“8”字模型可以證明! ∧P妥冃握f(shuō)明:模型變形主要是兩個(gè)正多邊形或者等腰三角形的夾角的變化,另外是等腰直角三角形與正方形的混用。當(dāng)遇到復(fù)雜圖形找不到旋轉(zhuǎn)全等時(shí),先找兩個(gè)正多邊形或者等腰三角形的公共頂點(diǎn),圍繞公共頂點(diǎn)找到兩組相鄰等線段,分組組成三角形證全等。  中點(diǎn)旋轉(zhuǎn):說(shuō)明:兩個(gè)正方形、兩個(gè)等腰直角三角形或者一個(gè)正方形一個(gè)等腰直角三角形及兩個(gè)圖形頂點(diǎn)連線的中點(diǎn),證明另外兩個(gè)頂點(diǎn)與中點(diǎn)所成圖形為等腰直角三角形。

證明方法是倍長(zhǎng)所要證等腰直角三角形的一直角邊,轉(zhuǎn)化成要證明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形(或者正方形)公旋轉(zhuǎn)頂點(diǎn),通過(guò)證明旋轉(zhuǎn)全等三角形證明倍長(zhǎng)后的大三角形為等腰直角三角形從而得證。

  幾何最值模型  對(duì)稱最值(兩點(diǎn)間線段最短)  對(duì)稱最值(點(diǎn)到直線垂線段最短)  說(shuō)明:通過(guò)對(duì)稱進(jìn)行等量代換,轉(zhuǎn)換成兩點(diǎn)間距離及點(diǎn)到直線距離! ⌒D(zhuǎn)最值(共線有最值)  說(shuō)明:找到與所要求最值相關(guān)成三角形的兩個(gè)定長(zhǎng)線段,定長(zhǎng)線段的和為最大值,定長(zhǎng)線段的差為最小值。  剪拼模型  三角形→四邊形  四邊形→四邊形  說(shuō)明:剪拼主要是通過(guò)中點(diǎn)的180度旋轉(zhuǎn)及平移改變圖形的形狀! 【匦→正方形  說(shuō)明:通過(guò)射影定理找到正方形的邊長(zhǎng),通過(guò)平移與旋轉(zhuǎn)完成形狀改變  正方形+等腰直角三角形→正方形  面積等分  旋轉(zhuǎn)相似模型說(shuō)明:兩個(gè)等腰直角三角形成旋轉(zhuǎn)全等,兩個(gè)有一個(gè)角是300角的直角三角形成旋轉(zhuǎn)相似。推廣:兩個(gè)任意相似三角形旋轉(zhuǎn)成一定角度,成旋轉(zhuǎn)相似。第三邊所成夾角符合旋轉(zhuǎn)“8”字的規(guī)律! ∠嗨颇P驼f(shuō)明:注意邊和角的對(duì)應(yīng),相等線段或者相等比值在證明相似中起到通過(guò)等量代換來(lái)構(gòu)造相似三角形的作用說(shuō)明:(1)三垂直到一線三等角的演變,三等角以30度、45度、60度形式出現(xiàn)的居多。(2)內(nèi)外角平分線定理到射影定理的演變,注意之間的相同與不同之處。另外,相似、射影定理、相交弦定理(可以推廣到圓冪定理)之間的比值可以轉(zhuǎn)換成乘積,通過(guò)等線段、等比值、等乘積進(jìn)行代換,進(jìn)行證明得到需要的結(jié)論。

說(shuō)明:相似證明中最常用的輔助線是做平行,根據(jù)題目的條件或者結(jié)論的比值來(lái)做相應(yīng)的平行線。

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