2023年初中數(shù)學因式分解習題大全

一.填空題(共10小題)

1.已知x+y=10，xy=16，則x2y+xy2的值為 .

2.兩位同學將一個二次三項式分解因式，一位同學因看錯了一次項系數(shù)而分解成2(x﹣1)(x﹣9);另一位同學因看錯了常數(shù)項分解成2(x﹣2)(x﹣4)，請你將原多項式因式分解正確的結(jié)果寫出來： .

3.若多項式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，則m的值是 .

4.分解因式：4x2﹣4x﹣3= .

5.利用因式分解計算：2022+202×196+982= .

6.△ABC三邊a，b，c滿足a2+b2+c2=ab+bc+ca，則△ABC的形狀是 .

7.計算：12﹣22+32﹣42+52﹣62+…﹣1002+1012= .

8.定義運算a★b=(1﹣a)b，下面給出了關(guān)于這種運算的四個結(jié)論：

①2★(﹣2)=3

②a★b=b★a

③若a+b=0，則(a★a)+(b★b)=2ab

④若a★b=0，則a=1或b=0.

其中正確結(jié)論的序號是 (填上你認為正確的所有結(jié)論的序號).

9.如果1+a+a2+a3=0，代數(shù)式a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8= .

10.若多項式x2﹣6x﹣b可化為(x+a)2﹣1，則b的值是 .

二.解答題(共20小題)

11.已知n為整數(shù)，試說明(n+7)2﹣(n﹣3)2的值一定能被20整除.

12.因式分解：4x2y﹣4xy+y.

13.因式分解

(1)a3﹣ab2

(2)(x﹣y)2+4xy.

14.先閱讀下面的內(nèi)容，再解決問題，

例題：若m2+2mn+2n2﹣6n+9=0，求m和n的值.

解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9=0

∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9=0

∴(m+n)2+(n﹣3)2=0

∴m+n=0，n﹣3=0

∴m=﹣3，n=3

問題：

(1)若x2+2y2﹣2xy+4y+4=0，求xy的值.

(2)已知△ABC的三邊長a，b，c都是正整數(shù)，且滿足a2+b2﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|=0，請問△ABC是怎樣形狀的三角形?

15.如果一個正整數(shù)能表示為兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個正整數(shù)為“和諧數(shù)”.如4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4，12，20這三個數(shù)都是和諧數(shù).

(1)36和2016這兩個數(shù)是和諧數(shù)嗎?為什么?

(2)設(shè)兩個連續(xù)偶數(shù)為2k+2和2k(其中k取非負整數(shù))，由這兩個連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的和諧數(shù)是4的倍數(shù)嗎?為什么?

(3)介于1到200之間的所有“和諧數(shù)”之和為 .

16.如圖1，有若干張邊長為a的小正方形①、長為b寬為a的長方形②以及邊長為b的大正方形③的紙片.

(1)如果現(xiàn)有小正方形①1張，大正方形③2張，長方形②3張，請你將它們拼成一個大長方形 (在圖2虛線框中畫出圖形)，并運用面積之間的關(guān)系，將多項式a2+3ab+2b2分解因式.

(2)已知小正方形①與大正方形③的面積之和為169，長方形②的周長為34，求長方形②的面積.

(3)現(xiàn)有三種紙片各8張，從其中取出若干張紙片，每種紙片至少取一張，把取出的這些紙片拼成一個正方形(按原紙張進行無空隙、無重疊拼接)，求可以拼成多少種邊長不同的正方形.

17.(1)有若干塊長方形和正方形硬紙片如圖1所示，用若干塊這樣的硬紙片拼成一個新的長方形，如圖2.

①用兩種不同的方法，計算圖2中長方形的面積;

②由此，你可以得出的一個等式為： .

(2)有若干塊長方形和正方形硬紙片如圖3所示.

①請你用拼圖等方法推出一個完全平方公式，畫出你的拼圖;

②請你用拼圖等方法推出2a2+5ab+2b2因式分解的結(jié)果，畫出你的拼圖.

18.已知a+b=1，ab=﹣1，設(shè)s1=a+b，s2=a2+b2，s3=a3+b3，…，sn=an+bn

(1)計算s2;

(2)請閱讀下面計算s3的過程：

因為a+b=1，ab=﹣1，

所以s3=a3+b3=(a+b)(a2+b2)﹣ab(a+b)=1×s2﹣(﹣1)=s2+1=

你讀懂了嗎?請你先填空完成(2)中s3的計算結(jié)果，再用你學到的方法計算s4.

(3)試寫出sn﹣2，sn﹣1，sn三者之間的關(guān)系式;

(4)根據(jù)(3)得出的結(jié)論，計算s6.

19.(1)利用因式分解簡算：9.82+0.4×9.8+0.04

(2)分解因式：4a(a﹣1)2﹣(1﹣a)

20.閱讀材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值.

解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴(m2﹣2mn+n2)+(n2﹣8n+16)=0

∴(m﹣n)2+(n﹣4)2=0，∴(m﹣n)2=0，(n﹣4)2=0，∴n=4，m=4.

根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：

(1)已知x2+2xy+2y2+2y+1=0，求x﹣y的值.

(2)已知△ABC的三邊長a、b、c都是正整數(shù)，且滿足a2+b2﹣6a﹣8b+25=0，求△ABC的最大邊c的值.

(3)已知a﹣b=4，ab+c2﹣6c+13=0，則a﹣b+c= .

21.仔細閱讀下面例題，解答問題：

例題：已知二次三項式x2﹣4x+m有一個因式是(x+3)，求另一個因式以及m的值.

解：設(shè)另一個因式為(x+n)，得x2﹣4x+m=(x+3)(x+n)，則x2﹣4x+m=x2+(n+3)x+3n

∴n+3=﹣4

m=3n 解得：n=﹣7，m=﹣21

∴另一個因式為(x﹣7)，m的值為﹣21.

問題：

(1)若二次三項式x2﹣5x+6可分解為(x﹣2)(x+a)，則a= ;

(2)若二次三項式2x2+bx﹣5可分解為(2x﹣1)(x+5)，則b= ;

(3)仿照以上方法解答下面問題：已知二次三項式2x2+5x﹣k有一個因式是(2x﹣3)，求另一個因式以及k的值.

22.分解因式：

(1)2x2﹣x;

(2)16x2﹣1;

(3)6xy2﹣9x2y﹣y3;

(4)4+12(x﹣y)+9(x﹣y)2.

23.已知a，b，c是三角形的三邊，且滿足(a+b+c)2=3(a2+b2+c2)，試確定三角形的形狀.

24.分解因式

(1)2x4﹣4x2y2+2y4

(2)2a3﹣4a2b+2ab2.

25.圖①是一個長為2m、寬為2n的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后按圖②的形狀拼成一個正方形.

(1)圖②中的陰影部分的面積為 ;

(2)觀察圖②請你寫出三個代數(shù)式(m+n)2、(m﹣n)2、mn之間的等量關(guān)系是 .

(3)若x+y=7，xy=10，則(x﹣y)2= .

(4)實際上有許多代數(shù)恒等式可以用圖形的面積來表示.

如圖③，它表示了 .

(5)試畫出一個幾何圖形，使它的面積能表示(m+n)(m+3n)=m2+4mn+3n2.

26.已知a、b、c滿足a﹣b=8，ab+c2+16=0，求2a+b+c的值.

27.已知：一個長方體的長、寬、高分別為正整數(shù)a、b、c，且滿足a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006，

求：這個長方體的體積.

28.(x2﹣4x)2﹣2(x2﹣4x)﹣15.

29.閱讀下列因式分解的過程，再回答所提出的問題：

1+x+x(x+1)+x(x+1)2

=(1+x)[1+x+x(x+1)]

=(1+x)2(1+x)

=(1+x)3

(1)上述分解因式的方法是 ，共應(yīng)用了 次.

(2)若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)2004，則需應(yīng)用上述方法 次，結(jié)果是.

(3)分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)n(n為正整數(shù)).

30.對于多項式x3﹣5x2+x+10，如果我們把x=2代入此多項式，發(fā)現(xiàn)多項式x3﹣5x2+x+10=0，這時可以斷定多項式中有因式(x﹣2)(注：把x=a代入多項式能使多項式的值為0，則多項式含有因式(x﹣a))，于是我們可以把多項式寫成：x3﹣5x2+x+10=(x﹣2)(x2+mx+n)，

(1)求式子中m、n的值;

(2)以上這種因式分解的方法叫試根法，用試根法分解多項式x3﹣2x2﹣13x﹣10的因式.

參考答案與試題解析

一.填空題(共10小題)

1.(2016秋·望謨縣期末)已知x+y=10，xy=16，則x2y+xy2的值為　160　.

【分析】首先提取公因式xy，進而將已知代入求出即可.

【解答】解：∵x+y=10，xy=16，

∴x2y+xy2=xy(x+y)=10×16=160.

故答案為：160.

【點評】此題主要考查了提取公因式法分解因式，正確找出公因式是解題關(guān)鍵.

2.(2016秋·新賓縣期末)兩位同學將一個二次三項式分解因式，一位同學因看錯了一次項系數(shù)而分解成2(x﹣1)(x﹣9);另一位同學因看錯了常數(shù)項分解成2(x﹣2)(x﹣4)，請你將原多項式因式分解正確的結(jié)果寫出來：　2(x﹣3)2.

【分析】根據(jù)多項式的乘法將2(x﹣1)(x﹣9)展開得到二次項、常數(shù)項;將2(x﹣2)(x﹣4)展開得到二次項、一次項.從而得到原多項式，再對該多項式提取公因式2后利用完全平方公式分解因式.

【解答】解：∵2(x﹣1)(x﹣9)=2x2﹣20x+18;

2(x﹣2)(x﹣4)=2x2﹣12x+16;

∴原多項式為2x2﹣12x+18.

2x2﹣12x+18=2(x2﹣6x+9)=2(x﹣3)2.

【點評】根據(jù)錯誤解法得到原多項式是解答本題的關(guān)鍵.二次三項式分解因式，看錯了一次項系數(shù)，但二次項、常數(shù)項正確;看錯了常數(shù)項，但二次項、一次項正確.

3.(2015春·昌邑市期末)若多項式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，則m的值是　±4　.

【分析】利用完全平方公式(a+b)2=(a﹣b)2+4ab、(a﹣b)2=(a+b)2﹣4ab計算即可.

【解答】解：∵x2+mx+4=(x±2)2，

即x2+mx+4=x2±4x+4，

∴m=±4.

故答案為：±4.

【點評】此題主要考查了公式法分解因式，熟記有關(guān)完全平方的幾個變形公式是解題關(guān)鍵.

4.(2015秋·利川市期末)分解因式：4x2﹣4x﹣3=　(2x﹣3)(2x+1)　.

【分析】ax2+bx+c(a≠0)型的式子的因式分解，這種方法的關(guān)鍵是把二次項系數(shù)a分解成兩個因數(shù)a1，a2的積a1·a2，把常數(shù)項c分解成兩個因數(shù)c1，c2的積c1·c2，并使a1c2+a2c1正好是一次項b，那么可以直接寫成結(jié)果：ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)，進而得出答案.

【解答】解：4x2﹣4x﹣3=(2x﹣3)(2x+1).

故答案為：(2x﹣3)(2x+1).

【點評】此題主要考查了十字相乘法分解因式，正確分解各項系數(shù)是解題關(guān)鍵.

5.(2015春·東陽市期末)利用因式分解計算：2022+202×196+982=　90000　.

【分析】通過觀察，顯然符合完全平方公式.

【解答】解：原式=2022+2x202x98+982

=(202+98)2

=3002

=90000.

【點評】運用公式法可以簡便計算一些式子的值.

6.(2015秋·浮梁縣校級期末)△ABC三邊a，b，c滿足a2+b2+c2=ab+bc+ca，則△ABC的形狀是　等邊三角形　.

【分析】分析題目所給的式子，將等號兩邊均乘以2，再化簡得(a﹣b)2+(a﹣c)2+(b﹣c)2=0，得出：a=b=c，即選出答案.

【解答】解：等式a2+b2+c2=ab+bc+ac等號兩邊均乘以2得：

2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ac，

即a2﹣2ab+b2+a2﹣2ac+c2+b2﹣2bc+c2=0，

即(a﹣b)2+(a﹣c)2+(b﹣c)2=0，

解得：a=b=c，

所以，△ABC是等邊三角形.

故答案為：等邊三角形.

【點評】此題考查了因式分解的應(yīng)用;利用等邊三角形的判定，化簡式子得a=b=c，由三邊相等判定△ABC是等邊三角形.

7.(2015秋·鄂托克旗校級期末)計算：12﹣22+32﹣42+52﹣62+…﹣1002+1012=　5151　.

【分析】通過觀察，原式變?yōu)?+(32﹣22)+(52﹣42)+(1012﹣1002)，進一步運用高斯求和公式即可解決.

【解答】解：12﹣22+32﹣42+52﹣62+…﹣1002+1012

=1+(32﹣22)+(52﹣42)+(1012﹣1002)

=1+(3+2)+(5+4)+(7+6)+…+(101+100)

=(1+101)×101÷2

=5151.

故答案為：5151.

【點評】此題考查因式分解的實際運用，分組分解，利用平方差公式解決問題.

8.(2015秋·樂至縣期末)定義運算a★b=(1﹣a)b，下面給出了關(guān)于這種運算的四個結(jié)論：

①2★(﹣2)=3

②a★b=b★a

③若a+b=0，則(a★a)+(b★b)=2ab

④若a★b=0，則a=1或b=0.

其中正確結(jié)論的序號是�、邰堋�(填上你認為正確的所有結(jié)論的序號).

【分析】根據(jù)題中的新定義計算得到結(jié)果，即可作出判斷.

【解答】解：①2★(﹣2)=(1﹣2)×(﹣2)=2，本選項錯誤;

②a★b=(1﹣a)b，b★a=(1﹣b)a，故a★b不一定等于b★a，本選項錯誤;

③若a+b=0，則(a★a)+(b★b)=(1﹣a)a+(1﹣b)b=a﹣a2+b﹣b2=﹣a2﹣b2=﹣2a2=2ab，本選項正確;

④若a★b=0，即(1﹣a)b=0，則a=1或b=0，本選項正確，

其中正確的有③④.

故答案為③④.

【點評】此題考查了整式的混合運算，以及有理數(shù)的混合運算，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵.

9.(2015春·張掖校級期末)如果1+a+a2+a3=0，代數(shù)式a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=　0　.

【分析】4項為一組，分成2組，再進一步分解因式求得答案即可.

【解答】解：∵1+a+a2+a3=0，

∴a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8，

=a(1+a+a2+a3)+a5(1+a+a2+a3)，

=0+0，

=0.

故答案是：0.

【點評】此題考查利用因式分解法求代數(shù)式的值，注意合理分組解決問題.

10.(2015春·昆山市期末)若多項式x2﹣6x﹣b可化為(x+a)2﹣1，則b的值是　﹣8　.

【分析】利用配方法進而將原式變形得出即可.

【解答】解：∵x2﹣6x﹣b=(x﹣3)2﹣9﹣b=(x+a)2﹣1，

∴a=﹣3，﹣9﹣b=﹣1，

解得：a=﹣3，b=﹣8.

故答案為：﹣8.

【點評】此題主要考查了配方法的應(yīng)用，根據(jù)題意正確配方是解題關(guān)鍵.

二.解答題(共20小題)

11.已知n為整數(shù)，試說明(n+7)2﹣(n﹣3)2的值一定能被20整除.

【分析】用平方差公式展開(n+7)2﹣(n﹣3)2，看因式中有沒有20即可.

【解答】解：(n+7)2﹣(n﹣3)2=(n+7+n﹣3)(n+7﹣n+3)=20(n+2)，

∴(n+7)2﹣(n﹣3)2的值一定能被20整除.

【點評】主要考查利用平方差公式分解因式.公式：a2﹣b2=(a+b)(a﹣b).

12.(2016秋·農(nóng)安縣校級期末)因式分解：4x2y﹣4xy+y.

【分析】先提取公因式y(tǒng)，再對余下的多項式利用完全平方公式繼續(xù)分解.

【解答】解：4x2y﹣4xy+y

=y(4x2﹣4x+1)

=y(2x﹣1)2.

【點評】本題考查了用提公因式法和公式法進行因式分解，一個多項式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進行因式分解，同時因式分解要徹底，直到不能分解為止.

13.(2015秋·成都校級期末)因式分解

(1)a3﹣ab2

(2)(x﹣y)2+4xy.

【分析】(1)原式提取a，再利用平方差公式分解即可;

(2)原式利用完全平方公式分解即可.

【解答】解：(1)原式=a(a2﹣b2)=a(a+b)(a﹣b);

(2)原式=x2﹣2xy+y2+4xy=x2+2xy+y2=(x+y)2.

【點評】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵.

14.(2015春·甘肅校級期末)先閱讀下面的內(nèi)容，再解決問題，

例題：若m2+2mn+2n2﹣6n+9=0，求m和n的值.

解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9=0

∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9=0

∴(m+n)2+(n﹣3)2=0

∴m+n=0，n﹣3=0

∴m=﹣3，n=3

問題：

(1)若x2+2y2﹣2xy+4y+4=0，求xy的值.

(2)已知△ABC的三邊長a，b，c都是正整數(shù)，且滿足a2+b2﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|=0，請問△ABC是怎樣形狀的三角形?

【分析】(1)首先把x2+2y2﹣2xy+4y+4=0，配方得到(x﹣y)2+(y+2)2=0，再根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)得到x=y=﹣2，代入求得數(shù)值即可;

(2)先把a2+b2﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|=0，配方得到(a﹣3)2+(b﹣3)2+|3﹣c|=0，根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)得到a=b=c=3，得出三角形的形狀即可.

【解答】解：(1)∵x2+2y2﹣2xy+4y+4=0

∴x2+y2﹣2xy+y2+4y+4=0，

∴(x﹣y)2+(y+2)2=0

∴x=y=﹣2

∴

;

(2)∵a2+b2﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|=0，

∴a2﹣6a+9+b2﹣6b+9+|3﹣c|=0，

∴(a﹣3)2+(b﹣3)2+|3﹣c|=0

∴a=b=c=3

∴三角形ABC是等邊三角形.

【點評】此題考查了配方法的應(yīng)用：通過配方，把已知條件變形為幾個非負數(shù)的和的形式，然后利用非負數(shù)的性質(zhì)得到幾個等量關(guān)系，建立方程求得數(shù)值解決問題.

15.(2015秋·太和縣期末)如果一個正整數(shù)能表示為兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個正整數(shù)為“和諧數(shù)”.如4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4，12，20這三個數(shù)都是和諧數(shù).

(1)36和2016這兩個數(shù)是和諧數(shù)嗎?為什么?

(2)設(shè)兩個連續(xù)偶數(shù)為2k+2和2k(其中k取非負整數(shù))，由這兩個連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的和諧數(shù)是4的倍數(shù)嗎?為什么?

(3)介于1到200之間的所有“和諧數(shù)”之和為　2500　.

【分析】(1)利用36=102﹣82;2016=5052﹣5032說明36是“和諧數(shù)”，2016不是“和諧數(shù)”;

(2)設(shè)兩個連續(xù)偶數(shù)為2n，2n+2(n為自然數(shù))，則“和諧數(shù)”=(2n+2)2﹣(2n)2，利用平方差公式展開得到(2n+2+2n)(2n+2﹣2n)=4(2n+1)，然后利用整除性可說明“和諧數(shù)”一定是4的倍數(shù);

(3)介于1到200之間的所有“和諧數(shù)”中，最小的為：22﹣02=4，最大的為：502﹣482=196，將它們?nèi)�部列出不難求出他們的和.

【解答】解：(1)36是“和諧數(shù)”，2016不是“和諧數(shù)”.理由如下：

36=102﹣82;2016=5052﹣5032;

(2)設(shè)兩個連續(xù)偶數(shù)為2k+2和2k(n為自然數(shù))，

∵(2k+2)2﹣(2k)2=(2k+2+2k)(2k+2﹣2k)

=(4k+2)×2

=4(2k+1)，

∵4(2k+1)能被4整除，

∴“和諧數(shù)”一定是4的倍數(shù);

(3)介于1到200之間的所有“和諧數(shù)”之和，

S=(22﹣02)+(42﹣22)+(62﹣42)+…+(502﹣482)=502=2500.

故答案是：2500.

【點評】本題考查了因式分解的應(yīng)用：利用因式分解把所求的代數(shù)式進行變形，從而達到使計算簡化.

16.(2015春·興化市校級期末)如圖1，有若干張邊長為a的小正方形①、長為b寬為a的長方形②以及邊長為b的大正方形③的紙片.

(1)如果現(xiàn)有小正方形①1張，大正方形③2張，長方形②3張，請你將它們拼成一個大長方形 (在圖2虛線框中畫出圖形)，并運用面積之間的關(guān)系，將多項式a2+3ab+2b2分解因式.

(2)已知小正方形①與大正方形③的面積之和為169，長方形②的周長為34，求長方形②的面積.

(3)現(xiàn)有三種紙片各8張，從其中取出若干張紙片，每種紙片至少取一張，把取出的這些紙片拼成一個正方形(按原紙張進行無空隙、無重疊拼接)，求可以拼成多少種邊長不同的正方形.

【分析】(1)根據(jù)小正方形①1張，大正方形③2張，長方形②3張，直接畫出圖形，利用圖形分解因式即可;

(2)由長方形②的周長為34，得出a+b=17，由題意可知：小正方形①與大正方形③的面積之和為a2+b2=169，將a+b=17兩邊同時平方，可求得ab的值，從而可求得長方形②的面積;

(3)設(shè)正方形的邊長為(na+mb)，其中(n、m為正整數(shù))由完全平方公式可知：(na+mb)2=n2a2+2nmab+m2b2.因為現(xiàn)有三種紙片各8張，

n2≤8，m2≤8，2mn≤8(n、m為正整數(shù))從而可知n≤2，m≤2，從而可得出答案.

【解答】解：(1)如圖：

拼成邊為(a+2b)和(a+b)的長方形

∴a2+3ab+2b2=(a+2b)(a+b);

(2)∵長方形②的周長為34，

∴a+b=17.

∵小正方形①與大正方形③的面積之和為169，

∴a2+b2=169.

將a+b=17兩邊同時平方得：(a+b)2=172，整理得：a2+2ab+b2=289，

∴2ab=289﹣169，

∴ab=60.

∴長方形②的面積為60.

(3)設(shè)正方形的邊長為(na+mb)，其中(n、m為正整數(shù))

∴正方形的面積=(na+mb)2=n2a2+2nmab+m2b2.

∵現(xiàn)有三種紙片各8張，

∴n2≤8，m2≤8，2mn≤8(n、m為正整數(shù))

∴n≤2，m≤2.

∴共有以下四種情況;

①n=1，m=1，正方形的邊長為a+b;

②n=1，m=2，正方形的邊長為a+2b;

③n=2，m=1，正方形的邊長為2a+b;

④n=2，m=2，正方形的邊長為2a+2b.

【點評】此題考查因式分解的運用，要注意結(jié)合圖形解決問題，解題的關(guān)鍵是靈活運用完全平方公式.

17.(2014秋·萊城區(qū)校級期中)(1)有若干塊長方形和正方形硬紙片如圖1所示，用若干塊這樣的硬紙片拼成一個新的長方形，如圖2.

①用兩種不同的方法，計算圖2中長方形的面積;

②由此，你可以得出的一個等式為：　a2+2a+1 = (a+1)2.

(2)有若干塊長方形和正方形硬紙片如圖3所示.

①請你用拼圖等方法推出一個完全平方公式，畫出你的拼圖;

②請你用拼圖等方法推出2a2+5ab+2b2因式分解的結(jié)果，畫出你的拼圖.

【分析】(1)要能根據(jù)所給拼圖運用不同的計算面積的方法，來推導公式;

(2)要能根據(jù)等式畫出合適的拼圖.

【解答】解：(1)①長方形的面積=a2+2a+1;長方形的面積=(a+1)2;

②a2+2a+1=(a+1)2;

(2)①如圖，可推導出(a+b)2=a2+2ab+b2;

②2a2+5ab+2b2=(2a+b)(a+2b).

【點評】本題考查運用正方形或長方形的面積計算推導相關(guān)的一些等式;運用圖形的面積計算的不同方法得到多項式的因式分解.

18.(2013秋·海淀區(qū)校級期末)已知a+b=1，ab=﹣1，設(shè)s1=a+b，s2=a2+b2，s3=a3+b3，…，sn=an+bn

(1)計算s2;

(2)請閱讀下面計算s3的過程：

因為a+b=1，ab=﹣1，

所以s3=a3+b3=(a+b)(a2+b2)﹣ab(a+b)=1×s2﹣(﹣1)=s2+1=　4

你讀懂了嗎?請你先填空完成(2)中s3的計算結(jié)果，再用你學到的方法計算s4.

(3)試寫出sn﹣2，sn﹣1，sn三者之間的關(guān)系式;

(4)根據(jù)(3)得出的結(jié)論，計算s6.

【分析】(1)(2)利用完全平方公式進行化簡，然后代入a+b，ab的值，即可推出結(jié)論;

(3)根據(jù)(1)所推出的結(jié)論，即可推出Sn﹣2+Sn﹣1=Sn;

(4)根據(jù)(3)的結(jié)論，即可推出a6+b6=S6=S4+S5=2S4+S3.

【解答】解：(1)S2=a2+b2=(a+b)2﹣2ab=3;

(2)∵(a2+b2)(a+b)=a3+ab2+a2b+b3=a3+b3+ab(a+b)，

∴3×1=a3+b3﹣1，

∴a3+b3=4，即S3=4;

∵S4=(a2+b2)2﹣2(ab)2=7，

∴S4=7;

(3)∵S2=3，S3=4，S4=7，

∴S2+S3=S4，

∴Sn﹣2+Sn﹣1=Sn;

(3)∵Sn﹣2+Sn﹣1=Sn，S2=3，S3=4，S4=7，

∴S5=4+7=11，

∴S6=7+11=18.

【點評】本題主要考查整式的混合運算、完全平方公式的運用，關(guān)鍵在于根據(jù)題意推出S2=3，S3=4，S4=7，分析歸納出規(guī)律：Sn﹣2+Sn﹣1=Sn.

19.(2013春·重慶校級期末)(1)利用因式分解簡算：9.82+0.4×9.8+0.04

(2)分解因式：4a(a﹣1)2﹣(1﹣a)

【分析】(1)利用完全平方公式因式分解計算即可;

(2)先利用提取公因式法，再利用完全平方公式因式分解即可.

【解答】解：(1)原式=9.82+2×0.2×9.8+0.22

=(9.8+0.2)2

=100;

(2)4a(a﹣1)2﹣(1﹣a)

=(a﹣1)(4a2﹣4a+1)

=(a﹣1)(2a﹣1)2.

【點評】此題考查因式分解的實際運用，掌握平方差公式和完全平方公式是解決問題的關(guān)鍵.

20.(2013春·惠山區(qū)校級期末)閱讀材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值.

解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴(m2﹣2mn+n2)+(n2﹣8n+16)=0

∴(m﹣n)2+(n﹣4)2=0，∴(m﹣n)2=0，(n﹣4)2=0，∴n=4，m=4.

根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：

(1)已知x2+2xy+2y2+2y+1=0，求x﹣y的值.

(2)已知△ABC的三邊長a、b、c都是正整數(shù)，且滿足a2+b2﹣6a﹣8b+25=0，求△ABC的最大邊c的值.

(3)已知a﹣b=4，ab+c2﹣6c+13=0，則a﹣b+c=　7　.

【分析】(1)將多項式第三項分項后，結(jié)合并利用完全平方公式化簡，根據(jù)兩個非負數(shù)之和為0，兩非負數(shù)分別為0求出x與y的值，即可求出x﹣y的值;

(2)將已知等式25分為9+16，重新結(jié)合后，利用完全平方公式化簡，根據(jù)兩個非負數(shù)之和為0，兩非負數(shù)分別為0求出a與b的值，根據(jù)邊長為正整數(shù)且三角形三邊關(guān)系即可求出c的長;

(3)由a﹣b=4，得到a=b+4，代入已知的等式中重新結(jié)合后，利用完全平方公式化簡，根據(jù)兩個非負數(shù)之和為0，兩非負數(shù)分別為0求出b與c的值，進而求出a的值，即可求出a﹣b+c的值.

【解答】解：(1)∵x2+2xy+2y2+2y+1=0

∴(x2+2xy+y2)+(y2+2y+1)=0

∴(x+y)2+(y+1)2=0

∴x+y=0 y+1=0

解得x=1，y=﹣1

∴x﹣y=2;

(2)∵a2+b2﹣6a﹣8b+25=0

∴(a2﹣6a+9)+(b2﹣8b+16)=0

∴(a﹣3)2+(b﹣4)2=0

∴a﹣3=0，b﹣4=0

解得a=3，b=4

∵三角形兩邊之和>第三邊

∴c

∴c<7，又c是正整數(shù)，

∴c最大為6;

(3)∵a﹣b=4，即a=b+4，代入得：(b+4)b+c2﹣6c+13=0，

整理得：(b2+4b+4)+(c2﹣6c+9)=(b+2)2+(c﹣3)2=0，

∴b+2=0，且c﹣3=0，即b=﹣2，c=3，a=2，

則a﹣b+c=2﹣(﹣2)+3=7.

故答案為：7.

【點評】此題考查了因式分解的應(yīng)用，以及非負數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵.

21.(2012秋·溫嶺市校級期末)仔細閱讀下面例題，解答問題：

例題：已知二次三項式x2﹣4x+m有一個因式是(x+3)，求另一個因式以及m的值.

解：設(shè)另一個因式為(x+n)，得x2﹣4x+m=(x+3)(x+n)，則x2﹣4x+m=x2+(n+3)x+3n

∴n+3=﹣4

m=3n 解得：n=﹣7，m=﹣21

∴另一個因式為(x﹣7)，m的值為﹣21.

問題：

(1)若二次三項式x2﹣5x+6可分解為(x﹣2)(x+a)，則a=　﹣3　;

(2)若二次三項式2x2+bx﹣5可分解為(2x﹣1)(x+5)，則b=　9　;

(3)仿照以上方法解答下面問題：已知二次三項式2x2+5x﹣k有一個因式是(2x﹣3)，求另一個因式以及k的值.

【分析】(1)將(x﹣2)(x+a)展開，根據(jù)所給出的二次三項式即可求出a的值;

(2)(2x﹣1)(x+5)展開，可得出一次項的系數(shù)，繼而即可求出b的值;

(3)設(shè)另一個因式為(x+n)，得2x2+5x﹣k=(2x﹣3)(x+n)=2x2+(2n﹣3)x﹣3n，可知2n﹣3=5，k=3n，繼而求出n和k的值及另一個因式.

【解答】解：(1)∵(x﹣2)(x+a)=x2+(a﹣2)x﹣2a=x2﹣5x+6，

∴a﹣2=﹣5，

解得：a=﹣3;

(2)∵(2x﹣1)(x+5)=2x2+9x﹣5=2x2+bx﹣5，

∴b=9;

(3)設(shè)另一個因式為(x+n)，得2x2+5x﹣k=(2x﹣3)(x+n)=2x2+(2n﹣3)x﹣3n，

則2n﹣3=5，k=3n，

解得：n=4，k=12，

故另一個因式為(x+4)，k的值為12.

故答案為：(1)﹣3;(2分)(2)9;(2分)(3)另一個因式是x+4，k=12(6分).

【點評】本題考查因式分解的意義，解題關(guān)鍵是對題中所給解題思路的理解，同時要掌握因式分解與整式乘法是相反方向的變形，即互逆運算，二者是一個式子的不同表現(xiàn)形式.

22.(2012春·郯城縣期末)分解因式：

(1)2x2﹣x;

(2)16x2﹣1;

(3)6xy2﹣9x2y﹣y3;

(4)4+12(x﹣y)+9(x﹣y)2.

【分析】(1)直接提取公因式x即可;

(2)利用平方差公式進行因式分解;

(3)先提取公因式﹣y，再對余下的多項式利用完全平方公式繼續(xù)分解;

(4)把(x﹣y)看作整體，利用完全平方公式分解因式即可.

【解答】解：(1)2x2﹣x=x(2x﹣1);

(2)16x2﹣1=(4x+1)(4x﹣1);

(3)6xy2﹣9x2y﹣y3，

=﹣y(9x2﹣6xy+y2)，

=﹣y(3x﹣y)2;

(4)4+12(x﹣y)+9(x﹣y)2，

=[2+3(x﹣y)]2，

=(3x﹣3y+2)2.

【點評】本題考查了提公因式法與公式法分解因式，是因式分解的常用方法，難點在(3)，提取公因式﹣y后，需要繼續(xù)利用完全平方公式進行二次因式分解.

23.(2012春·碑林區(qū)校級期末)已知a，b，c是三角形的三邊，且滿足(a+b+c)2=3(a2+b2+c2)，試確定三角形的形狀.

【分析】將已知等式利用配方法變形，利用非負數(shù)的性質(zhì)解題.

【解答】解：∵(a+b+c)2=3(a2+b2+c2)，

∴a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，=3a2+3b2+3c2，

a2+b2﹣2ab+b2+c2﹣2bc+a2+c2﹣2ac=0，

即(a﹣b)2+(b﹣c)2+(c﹣a)2=0，

∴a﹣b=0，b﹣c=0，c﹣a=0，

∴a=b=c，

故△ABC為等邊三角形.

【點評】本題考查了配方法的運用，非負數(shù)的性質(zhì)，等邊三角形的判斷.關(guān)鍵是將已知等式利用配方法變形，利用非負數(shù)的性質(zhì)解題.

24.(2011秋·北辰區(qū)校級期末)分解因式

(1)2x4﹣4x2y2+2y4

(2)2a3﹣4a2b+2ab2.

【分析】(1)原式提取公因式后，利用平方差公式分解即可;

(2)原式提取公因式，利用完全平方公式分解即可.

【解答】解：(1)2x4﹣4x2y2+2y4

=2(x4﹣2x2y2+y4)

=2(x2﹣y2)2

=2(x+y)2(x﹣y)2;

(2)2a3﹣4a2b+2ab2

=2a(a2﹣2ab+b2)

=2a(a﹣b)2.

【點評】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，提取公因式后利用公式進行二次分解，注意分解要徹底.

25.(2011秋·蘇州期末)圖①是一個長為2m、寬為2n的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后按圖②的形狀拼成一個正方形.

(1)圖②中的陰影部分的面積為　(m﹣n)2;

(2)觀察圖②請你寫出三個代數(shù)式(m+n)2、(m﹣n)2、mn之間的等量關(guān)系是　(m+n)2﹣(m﹣n)2=4mn　.

(3)若x+y=7，xy=10，則(x﹣y)2=　9　.

(4)實際上有許多代數(shù)恒等式可以用圖形的面積來表示.

如圖③，它表示了　(m+n)(2m+n)=2m2+3mn+n2.

(5)試畫出一個幾何圖形，使它的面積能表示(m+n)(m+3n)=m2+4mn+3n2.

【分析】(1)可直接用正方形的面積公式得到.

(2)掌握完全平方公式，并掌握和與差的區(qū)別.

(3)此題可參照第(2)題.

(4)可利用各部分面積和=長方形面積列出恒等式.

(5)可參照第(4)題畫圖.

【解答】解：(1)陰影部分的邊長為(m﹣n)，陰影部分的面積為(m﹣n)2;

(2)(m+n)2﹣(m﹣n)2=4mn;

(3)(x﹣y)2=(x+y)2﹣4xy=72﹣40=9;

(4)(m+n)(2m+n)=2m2+3mn+n2;

(5)答案不唯一：

例如：

.

【點評】本題考查了因式分解的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是認真觀察題中給出的圖示，用不同的形式去表示面積，熟練掌握完全平方公式，并能進行變形.

26.(2009秋·海淀區(qū)期末)已知a、b、c滿足a﹣b=8，ab+c2+16=0，求2a+b+c的值.

【分析】本題乍看下無法代數(shù)求值，也無法進行因式分解;但是將已知的兩個式子進行適當變形后，即可找到本題的突破口.由a﹣b=8可得a=b+8;將其代入ab+c2+16=0得：b2+8b+c2+16=0;此時可發(fā)現(xiàn)b2+8b+16正好符合完全平方公式，因此可用非負數(shù)的性質(zhì)求出b、c的值，進而可求得a的值;然后代值運算即可.

【解答】解：因為a﹣b=8，

所以a=b+8.(1分)

又ab+c2+16=0，

所以(b+8)b+c2+16=0.(2分)

即(b+4)2+c2=0.

又(b+4)2≥0，c2≥0，

則b=﹣4，c=0.(4分)

所以a=4，(5分)

所以2a+b+c=4.(6分)

【點評】本題既考查了對因式分解方法的掌握，又考查了非負數(shù)的性質(zhì)以及代數(shù)式求值的方法.

27.(2010春·北京期末)已知：一個長方體的長、寬、高分別為正整數(shù)a、b、c，且滿足a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006，

求：這個長方體的體積.

【分析】我們可先將a+b+c+ab+bc+ac+abc分解因式可變?yōu)?a+1)(b+1)(c+1)﹣1，就得(1+b)(c+1)(a+1)=2007，由于a、b、c均為正整數(shù)，所以(a+1)、(b+1)、(c+1)也為正整數(shù)，而2007只可分解為3×3×223，可得(a+1)、(b+1)、(c+1)的值分別為3、3、223，所以a、b、c值為2、2、222.就可求出長方體體積abc了.

【解答】解：原式可化為：a+ab+c+ac+ab+abc+b+1﹣1=2006，

a(1+b)+c(1+b)+ac(1+b)+(1+b)﹣1=2006，

(1+b)(a+c+ac)+(1+b)=2007，

(1+b)(c+1+a+ac)=2007，

(1+b)(c+1)(a+1)=2007，

2007只能分解為3×3×223

∴(a+1)、(b+1)、(c+1)也只能分別為3、3、223

∴a、b、c也只能分別為2、2、222

∴長方體的體積abc=888.

【點評】本題考查了三次的分解因式，做題當中用加減項的方法，使式子滿足分解因式.

28.(2007秋·普陀區(qū)校級期末)(x2﹣4x)2﹣2(x2﹣4x)﹣15.

【分析】把(x2﹣4x)看作一個整體，先把﹣15寫成3×(﹣5)，利用十字相乘法分解因式，再把3寫成(﹣1)×(﹣3)，﹣5寫成1×(﹣5)，分別利用十字相乘法分解因式即可.

【解答】解：(x2﹣4x)2﹣2(x2﹣4x)﹣15，

=(x2﹣4x+3)(x2﹣4x﹣5)，

=(x﹣1)(x﹣3)(x+1)(x﹣5).

【點評】本題考查了十字相乘法分解因式，運用十字相乘法分解因式時，要注意觀察，嘗試，并體會它實質(zhì)是二項式乘法的逆過程，本題需要進行多次因式分解，分解因式一定要徹底.

29.(2007春·鎮(zhèn)海區(qū)期末)閱讀下列因式分解的過程，再回答所提出的問題：

1+x+x(x+1)+x(x+1)2

=(1+x)[1+x+x(x+1)]

=(1+x)2(1+x)

=(1+x)3

(1)上述分解因式的方法是　提公因式法　，共應(yīng)用了　2　次.

(2)若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)2004，則需應(yīng)用上述方法　2004　次，結(jié)果是　(1+x)2005.

(3)分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)n(n為正整數(shù)).

【分析】此題由特殊推廣到一般，要善于觀察思考，注意結(jié)果和指數(shù)之間的關(guān)系.

【解答】解：(1)上述分解因式的方法是提公因式法，共應(yīng)用了2次.

(2)需應(yīng)用上述方法2004次，結(jié)果是(1+x)2005.

(3)解：原式=(1+x)[1+x+x(x+1)]+x(x+1)3+…+x(x+1)n，

=(1+x)2(1+x)+x(x+1)3+…+x(x+1)n，

=(1+x)3+x(x+1)3+…+x(x+1)n，

=(x+1)n+x(x+1)n，

=(x+1)n+1.

【點評】本題考查了提公因式法分解因式的推廣，要認真觀察已知所給的過程，弄清每一步的理由，就可進一步推廣.

30.(2007春·射洪縣校級期末)對于多項式x3﹣5x2+x+10，如果我們把x=2代入此多項式，發(fā)現(xiàn)多項式x3﹣5x2+x+10=0，這時可以斷定多項式中有因式(x﹣2)(注：把x=a代入多項式能使多項式的值為0，則多項式含有因式(x﹣a))，于是我們可以把多項式寫成：x3﹣5x2+x+10=(x﹣2)(x2+mx+n)，

(1)求式子中m、n的值;

(2)以上這種因式分解的方法叫試根法，用試根法分解多項式x3﹣2x2﹣13x﹣10的因式.

【分析】(1)根據(jù)(x﹣2)(x2+mx+n)=x3+(m﹣2)x2+(n﹣2m)x﹣2n，得出有關(guān)m，n的方程組求出即可;

(2)由把x=﹣1代入x3﹣2x2﹣13x﹣10，得其值為0，則多項式可分解為(x+1)(x2+ax+b)的形式，進而將多項式分解得出答案.

【解答】解：(1)方法一：因(x﹣2)(x2+mx+n)=x3+(m﹣2)x2+(n﹣2m)x﹣2n，

=x3﹣5x2+x+10，(2分)

所以

，

解得：m=﹣3，n=﹣5(5分)，

方法二：在等式x3﹣5x2+x+10=(x﹣2)(x2+mx+n)中，

分別令x=0，x=1，

即可求出：m=﹣3，n=﹣5(注：不同方法可根據(jù)上面標準酌情給分)

(2)把x=﹣1代入x3﹣2x2﹣13x﹣10，得其值為0，

則多項式可分解為(x+1)(x2+ax+b)的形式，(7分)

用上述方法可求得：a=﹣3，b=﹣10，(8分)

所以x3﹣2x2﹣13x﹣10=(x+1)(x2﹣3x﹣10)，(9分)

=(x+1)(x+2)(x﹣5).(10分)

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