2023年初中數(shù)學(xué)一元二次方程的知識體系

第一級：清晰掌握一元二次方程的概念

大家都認(rèn)為了解概念很簡單，但是如果真要對概念特別熟悉，需要學(xué)會2個方法：

(1)拆分概念的描述;

(2) 熟悉概念的一般情況和特殊情況。

比如，一元二次方程的定義是：

等號兩邊是整式，只含有一個未知數(shù)(一元)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(二次)的方程，叫做一元二次方程。

(1)拆分概念

概念中包含4個要求

分別是顯示出來的：①整式方程、②一元、③二次

還有隱藏于其中的：④二次項系數(shù)不等于0.

(2)學(xué)會區(qū)分一般情況和特殊情況

一般情況容易辨別，直接根據(jù)上面的4個要求判斷就行;

特殊情況了解不多，在考察的時候往往就容易出錯。

比如這兩個式子是不是一元二次方程：

①ax^2+bx+c=0;②x^2+x+2=x(x+5);

(tips:你覺得兩個式子是or不是，可留言回復(fù))

這是一種學(xué)習(xí)新概念的思路——首先拆分概念描述，然后了解有哪些一般情況和特殊情況。

在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的其他概念時，可以參考這種方法。

拓展開來，把這個方法應(yīng)用到其他物理、化學(xué)、法律等學(xué)科的概念，也可以適用。

第二級：掌握一元二次方程的4個解法

四個解法：直接開方法、配方法、公式法、因式分解法。

(1)直接開方法

此方法最簡單，一般有這幾種形式：

ax^2=k(k≥0)

(ax+b)^2=k(k≥0)

(ax+b)^2=(cx+d)^2

(2)配方法

配方法是需要把代數(shù)式化成平方(ax+b)^2=k的形式，用開方法解方程。

配方法的過程：

①二次項系數(shù)化為1;

②常數(shù)項右移;

③配方(加上一次項系數(shù)一半的平方);

④化成開平方的形式;

⑤直接開方求解;

(3)公式法

配方法的過程是固定的且重復(fù)的，我們把這種重復(fù)性的計算可以總結(jié)為公式，產(chǎn)生了公式法。

公式法還產(chǎn)生出了一個非常重要的知識點，就是方程的判別式△與方程解的個數(shù)關(guān)系：

①△>0，兩個不相等的實數(shù)根;

②△=0，兩個相等的實數(shù)根;

③△<0，無實根。

(4)因式分解法

因式分解法是利用a*b=0，則a=0或b=0的原理，把左邊的代數(shù)式進(jìn)行因式分解。

如果熟練使用十字相乘法因式分解，則計算速度比用公式法還要快速。

比如式子：4x^2-12x+5=0

十字相乘法可以拆分為(2x-5)(2x-1)=0，馬上就可以得到方程的解。

4個解法的特點比較：

直接開方法格式要求比較高，出題少;

配方法和公式法適用于所有的一元二次方程;

因式分解法常用且解題速度快，要求熟練掌握;

大量的重復(fù)的機械性計算，一定可以歸納出一個數(shù)學(xué)工具——公式。

比如，從配方法歸納出公式法;從整式乘法歸納出平方差公式和完全平方公式。

拓展開來，在社會中，重復(fù)性的機械勞動也會從人工操作轉(zhuǎn)成智能程序控制。

比如：部分高速路收費員轉(zhuǎn)化成ETC;醫(yī)院的很多流程，從人工轉(zhuǎn)到了自助設(shè)備。

第三級：掌握一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系

從公式法中我們知道x1和x2的值，兩個根相加和相乘就產(chǎn)生了韋達(dá)定理：

x1+x2=-b/a，x1*x2=c/a

韋達(dá)定理的主要作用：

在不進(jìn)行求解方程的情況下知道兩個根的和與兩個根的積是多少，還可以判斷兩個根的正負(fù)性。

同樣，根據(jù)兩個根的正負(fù)性也可以求出參數(shù)的范圍。

比如這樣的題目：

這類題目需要注意的一個易錯點是：

用韋達(dá)定理的前提是方程的判別式大于等于0，所以遇到用韋達(dá)定理的題目，先計算判別式是否大于等于0。

第四級：熟練解決一元二次方程的實際應(yīng)用

實際應(yīng)用題一般分為這幾類：

(1)一元二次方程增長率問題

(2)一元二次方程漲降價銷售問題

(3)一元二次方程圖形面積問題

(4)一元二次方程儲蓄問題

(5)一元二次方程循環(huán)握手或者病毒傳播問題

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