來源:網(wǎng)絡(luò)資源 2023-01-03 18:18:10
一次函數(shù)的基本內(nèi)容
兵馬未動(dòng),糧草先行。認(rèn)識(shí)一次函數(shù),首先得從基礎(chǔ)抓起,概念理解不透徹,知識(shí)掌握不牢固,做起題目來必然也會(huì)磕磕碰碰,不得其解。
1、表達(dá)式:
一般地,形如y=kx+b(k,b是常數(shù),k≠0),那么y叫做x的一次函數(shù)。
(當(dāng)b=0時(shí),y=kx+b即y=kx,所以說正比例函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù))
一次函數(shù)一般形式 y=kx+b成立的條件:
● k不為零
● x指數(shù)為1
● b取任意實(shí)數(shù)
2、函數(shù)圖象:
(1)一次函數(shù)y=kx+b的圖象是經(jīng)過(0,b)和(-b/k,0)兩點(diǎn)的一條直線,我們稱為直線y=kx+b,它可以看作由直線y=kx平移|b|個(gè)單位長度得到。
(2)走向:k>0,圖象經(jīng)過第一、三象限;k<0,圖象經(jīng)過第二、四象限;b>0,圖象經(jīng)過第一、二象限;b<0,圖象經(jīng)過第三、四象限。
3、增減性:
k>0,y隨x的增大而增大;k<0,y隨x增大而減小。
總結(jié):
(1)k>0且b>0 直線經(jīng)過第一、二、三象限,y隨x的增大而增大。
(2)k>0且b<0 直線經(jīng)過第一、三、四象限,y隨x的增大而增大。
(3)k<0且b>0 直線經(jīng)過第一、二、四象限,y隨x的增大而減小。
(4)k<0且b<0直線經(jīng)過第二、三、四象限,y隨x的增大而減小。
4、圖像的平移:
遵循“上加下減,左加右減”的原則:
當(dāng)b>0時(shí),將直線y=kx的圖象向上平移b個(gè)單位;
當(dāng)b<0時(shí),將直線y=kx的圖象向下平移b個(gè)單位。
5、一次函數(shù)的對(duì)稱
若兩函數(shù)關(guān)于x軸對(duì)稱,則y=kx+b變成y=-kx-b,交點(diǎn)為(-b/k,0);
若兩函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱,則y=kx+b變成y=-kx+b,交點(diǎn)為(0,b);
若兩函數(shù)關(guān)于x=n對(duì)稱,則y=kx+b變成y=-kx+2nk+b,交點(diǎn)為(n,kn+b);
若兩函數(shù)關(guān)于y=n對(duì)稱,則y=kx+b變成y=-kx+(2n-b),交點(diǎn)為[(n-b)/k,n];
若兩函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則y=kx+b變成y=kx-b,無交點(diǎn)。
一次函數(shù)的應(yīng)用
一次函數(shù)的應(yīng)用題,信息量大,綜合性強(qiáng),不僅僅考察了一次函數(shù)的圖像及性質(zhì),還考察了閱讀理解能力及構(gòu)造方程的能力等,對(duì)于初學(xué)者來說,無疑是一個(gè)難點(diǎn)。一、一次函數(shù)圖象的基本應(yīng)用
我們需要知道:任何一元一次方程到可以轉(zhuǎn)化為ax+b=0(a,b為常數(shù),a≠0)的形式,所以解一元一次方程可以轉(zhuǎn)化為:當(dāng)某個(gè)一次函數(shù)的值為0時(shí),求相應(yīng)的自變量的值。從圖象上看,相當(dāng)于已知直線y=ax+b確定它與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值。
當(dāng)需要利用函數(shù)和函數(shù)圖象比較數(shù)的大小,主要有三種方法:
(1)直接把x值代入函數(shù)關(guān)系式,求出相應(yīng)的y值,比較數(shù)的大小;
(2)在函數(shù)圖象上描出各點(diǎn),再根據(jù)各點(diǎn)的位置情況,比較數(shù)的大小;
(3)利用函數(shù)的增減性,比較數(shù)的大小。
涉及一次函數(shù)的圖像的相關(guān)題目,需要充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想,對(duì)其單調(diào)性、經(jīng)過的象限,交點(diǎn)等知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行考察,這類題目的難易程度一般,基本在選擇題和填空題出現(xiàn)。
二、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式
確定函數(shù)解析式的一般步驟:
(1)根據(jù)已知條件寫出含有待定系數(shù)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)將x、y的幾對(duì)值或圖象上的幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入上述函數(shù)關(guān)系式中得到以待定系數(shù)為未知數(shù)的方程;
(3)解方程得出未知系數(shù)的值;
(4)將求出的待定系數(shù)代回所求的函數(shù)關(guān)系式中得出所求函數(shù)的解析式。
三、一次函數(shù)的綜合考察
在初中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,一次函數(shù)與反比例函數(shù)、二次函數(shù)相結(jié)合的題目出現(xiàn)較多,這些題型綜合考查一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)等的知識(shí),還能夠與其他知識(shí)結(jié)合起來。解題時(shí),涉及交點(diǎn)時(shí)要注意充分應(yīng)用交點(diǎn)在兩個(gè)函數(shù)的圖象上的條件。
例如:涉及一次函數(shù)與一元一次不等式的知識(shí)點(diǎn),可以將一元一次不等式轉(zhuǎn)化為ax+b>0或ax+b<0(a,b為常數(shù),a≠0)的形式,所以解一元一次不等式可以看作:當(dāng)一次函數(shù)值大(小)于0時(shí),求自變量的取值范圍。
課堂總結(jié)
1、解決一次函數(shù)應(yīng)用問題的步驟:
◆分析問題:
(1)借助圖、表等手段分析題目中的數(shù)量關(guān)系,從而確定函數(shù)解析式;
(2)根據(jù)函數(shù)圖像獲取信息,分析數(shù)量關(guān)系。
◆確定模型:根據(jù)獲取到的信息確定一次函數(shù)模型。
◆解決問題:根據(jù)題目中的數(shù)量關(guān)系或者數(shù)學(xué)模型,將具體數(shù)字代入,從而解決問題。
2、注意事項(xiàng):■ 對(duì)于有圖象的應(yīng)用題,首先從函數(shù)的圖像入手,搞清楚函數(shù)圖像的實(shí)際意義,把那些關(guān)鍵的點(diǎn),線給求出來,往往能夠起到事半功倍的效果。
■ 搞定了圖象,再看題目的關(guān)鍵信息,許多問題就迎刃而解。
■ 對(duì)于沒有圖象的應(yīng)用題,一邊讀題,一邊將關(guān)鍵的數(shù)據(jù)及數(shù)據(jù)之間的關(guān)系羅列出來——通過讀題把文字語言翻譯成數(shù)學(xué)語言。
課后練習(xí)
已知A、B兩地之間的筆直公路上有一處加油站C(靠近B地),一輛客車和一輛貨車分別從A、B兩地出發(fā),朝另一地前進(jìn),兩車同時(shí)出發(fā),勻速行駛.如圖所示是客車、貨車離加油站C的距離y₁,y₂(千米)與行駛時(shí)間x(小時(shí))之間的函數(shù)關(guān)系圖像。
(1)求客車和貨車的速度;
(2)圖中點(diǎn)E代表的實(shí)際意義是什么,求點(diǎn)E的橫坐標(biāo)。
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