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2023年初中數(shù)學(xué)代數(shù)基礎(chǔ)知識點:平均數(shù)

來源:網(wǎng)絡(luò)資源 2023-01-17 20:52:22

中考真題

智能內(nèi)容

平均數(shù)

1、

①定義:一般的,如果有n個數(shù)x1x2x3… xn,則:

= (x1+x2+…+xn)÷n

②當(dāng)一組數(shù)據(jù)x1x2 x3… xn各個數(shù)值較大時,可將數(shù)據(jù)同時減去一個適當(dāng)?shù)某?shù)a ,得到:x1/=x1-a 、x1/=x2-a … xn=xn/-a則x拔= x拔/+ a

常數(shù)a通常取接近于這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)(約略估計)的整數(shù)

③加權(quán)平均數(shù):如果在n個數(shù)中,x1出現(xiàn)f1次,x2出現(xiàn)fk次,…… xk出現(xiàn)fn次(f1+f2+…+fk=n )則

=(x1f1+ x2f2+ x3f3+… +xkfk)÷n

2、

幾個概念:

①總體:考察對象的全體

②個體:每一個考察對象

③樣本:從整體中抽取的一部分個體叫總體的一個樣本

④樣本容量:樣本中個體得數(shù)目

⑤總體平均數(shù):總體中所有個體的平均數(shù)

⑥樣本平均數(shù):樣本中所有個體的平均數(shù)

例1:初三全年級4個班數(shù)學(xué)測驗平均成績分別是 x拔1x拔2x拔3x拔4則全年級平均成績是( x拔1+ x拔2+ x拔3+ x拔4)÷4 這種算法不一定正確

⑴當(dāng)各班人數(shù)相同時算式成立

⑵當(dāng)各班人數(shù)不同時算式不成立

例2:已知兩組數(shù)x1x2x3… xn和y1y2y3…yn的平均數(shù)分別x拔和 y拔,求:

⑴一組新數(shù)據(jù)8x1 +8x2 +8x3 +… + 8xn的平均數(shù)(8 x拔)

⑵一組新數(shù)據(jù)x1+ y1x2+ y2x3+ y3… xn+ yn的平均數(shù)

(答案:x拔+ y拔)

例3:一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)能大于其中每個數(shù)據(jù)嗎?能大于除其中一個數(shù)據(jù)以外的所有數(shù)據(jù)嗎?(答案:不能;能,如6、2、2、2的平均數(shù)是3)

例4:某校錄取新生的平均成績是535分,如果某同學(xué)成績是539分,他肯定能被這所學(xué)校入取嗎?為什么?(不一定)

例5:為了解某地區(qū)初三年級男學(xué)生的體高,從初三學(xué)生中抽測500名男生的體高,在這個問題中,下面說法正確的有()個?

⑴總體是指該地區(qū)初三年級男生的全體

⑵個體是指該地區(qū)的每一位初三年級的男生

⑶樣本容量是500名

⑷樣本是指500名學(xué)生的體高

分析:因為本題考察對象是初三學(xué)生的體高,而不是學(xué)生,故⑴⑵都錯,又因為樣本容量是一個數(shù),不帶單位,故⑶錯

例6:某襯衫店為了準(zhǔn)確進(jìn)貨,對一周內(nèi)商店各種尺碼的男襯衫的銷售情況進(jìn)行統(tǒng)計,結(jié)果如下:38碼的20件,39碼的23件,40碼的26件,41碼的25件、42碼的21件、43碼的18件。則該組數(shù)據(jù)中的眾數(shù)是,中位數(shù)是

(答案:眾數(shù)是40碼;第67件居中間,所以中位數(shù)是40碼。注意:不要答成眾數(shù)是26,眾數(shù)是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù),而不是出現(xiàn)最多的次數(shù))

例7、養(yǎng)魚專業(yè)戶為了估測魚的重量,撈出10條魚稱的其重量如下:480g 1條、490g 2條、500g 3條、520g 4條,求樣本平均數(shù)(答案:504g)

例8、為了估測湖里有多少魚,先捕上100條做上標(biāo)記,然后放回湖里,過一段時間,等待標(biāo)記的魚完全和魚群匯合后,再捕上200條,發(fā)現(xiàn)其中帶標(biāo)記的魚有20條,湖里大約有多少條魚?(答案:x:100 = 200:20;1000條)

例9、當(dāng)5個非負(fù)整數(shù)從小到大排列,其中位數(shù)是4,如果這組數(shù)據(jù)的唯一眾數(shù)是6 ,則這五個整數(shù)可能的最大和是多少?最小和是多少?(答案:21 ;17)

3、

概念:

⑴眾數(shù):一組數(shù)據(jù)中,出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。

理解:注意出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)和出現(xiàn)次數(shù)最多次數(shù)兩種說法的不同

⑵中位數(shù):將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列,把處在最中間位置的一個數(shù)據(jù)(或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)

⑶對眾數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)的理解:

①眾數(shù)說明了該數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)最多;中位數(shù)說明了該組數(shù)據(jù)以中位數(shù)為點將數(shù)據(jù)劃分為數(shù)據(jù)各占一半的兩部分。平均數(shù)反應(yīng)了改組數(shù)據(jù)的平均值。

4、

中位數(shù)的找法:

給我們一組數(shù)組,將該數(shù)組由小到大排列,設(shè)數(shù)組的個數(shù)為n,

1、當(dāng)n為奇數(shù)時,n÷2得一小數(shù),用進(jìn)一法取整數(shù)f,則,第f個數(shù)就是該數(shù)組的中位數(shù)。

2,當(dāng)n為偶數(shù)時,n÷2得一整數(shù)m,第m和m+1個數(shù)的平均數(shù)就是該數(shù)組的中位數(shù)。

3、眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)從不同角度描述了一組數(shù)據(jù)的平均趨勢,其中,又以平均數(shù)應(yīng)用最為廣泛

例1、判斷題:

⑴只要一組數(shù)據(jù)中有一個數(shù)字變動,那么平均數(shù)就一定會跟著變動(答案:對)

⑵平均數(shù)一定有現(xiàn)實意義(答案:錯)

⑶在一組數(shù)據(jù)中加入它的平均數(shù),則新數(shù)據(jù)組中平均數(shù)不變

(答案:對)

例2、草地上有甲乙兩群人正在做游戲,甲群人的年齡分別是:12、12、12、13、14、15、16、16、27;乙群人的年齡分別是:3、4、4、5、5、6、6、6、55、60

⑴求出兩群人年齡的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)

⑵甲乙兩群人年齡的平均數(shù)能代表他們各自年齡的特征嗎?若不能代表,那么哪個數(shù)據(jù)能代表?

⑶說明:一般地,在一組數(shù)據(jù)中數(shù)值特別大(或特別小)的數(shù)據(jù)看作異常數(shù),在有異常數(shù)的數(shù)據(jù)中,平均數(shù)和中位數(shù)可能相差很大,此時用中位數(shù)來反映這組數(shù)據(jù)的一般水平比較合適

例3、劉曉和尹凱是學(xué)習(xí)上的競爭對手,階段考試成績先出了語、數(shù)、外三門,劉曉的平均分較尹凱高出2分,物理分出來時,尹凱的平均分反超過劉曉1分了,化學(xué)成績?nèi)晕闯鰜?/p>

⑴在物理考試中,劉曉比尹凱低多少分?

⑵為保證自己的總平均分仍比尹凱多1分,劉曉的化學(xué)要比尹凱多多少分?

分析:⑴三門中劉曉高出6分,四門中劉凱高出4分,所以劉曉的物理比尹凱低10分;四門中劉曉比尹凱低4分,為保證劉曉比尹凱總平均分仍高1分,即總分多5分,所以劉曉的化學(xué)要比尹凱多9分

5、

方差:

⑴引入方差的目的:對于一組數(shù)據(jù),除需要了解它們的一般水平外,還常常需要了解它們的波動大小(即偏離平均數(shù)的大小)

⑵概念:設(shè)在一組數(shù)據(jù)x1、x2、…、xn中,各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)的差的平方分別是(x1- x拔)2、(x2- x拔)2、…、(xn- x拔)2。那么,我們用它們的平均數(shù)來衡量這組數(shù)據(jù)的波動的大小,并把它叫做這組數(shù)據(jù)的方差

即:S2=[(x1-x拔)2+ (x2-x拔)2+ … + (xn- x拔)2]/n

⑶意義:一組數(shù)據(jù)的方差越大,這組數(shù)據(jù)的波動越大

⑷計算方差的兩個變形公式

⑴ S2=[(x12+ x22+ … + xn2) - n x拔2]/n

⑵若x1/=x1-a 、x1/=x2-a … xn/=xn-a( 其中, x1、x2、…、xn是原已知的n個數(shù),a是接近這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的一個常數(shù))則

S2=[(x1/2+ x2/2+ … + xn/2) - n x拔/2]/n

6、

標(biāo)準(zhǔn)差:

⑴概念:方差的算術(shù)平方根叫這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差

⑵意義: 標(biāo)準(zhǔn)差也是用來衡量一組數(shù)據(jù)的波動大小的重要的量,標(biāo)準(zhǔn)差越大,數(shù)據(jù)的波動越大,反之亦然。

7、

方差、標(biāo)準(zhǔn)差綜合概括:

一般地,若一組數(shù)據(jù)x1、x2、…、xn的平均數(shù)為x拔,方差為S2,標(biāo)準(zhǔn)差為S ,則:

⑴數(shù)組:x1+ax2+a … xn+a的平均數(shù)為 x拔+a ,方差和標(biāo)準(zhǔn)差不變

⑵數(shù)組:kx1kx2… kxn的平均數(shù)為 kx拔,方差變?yōu)閗2S2,標(biāo)準(zhǔn)差為kS

⑶數(shù)組:k x1+akx2+ a …kxn+a的平均數(shù)為kx拔+a,方差為k2S2,標(biāo)準(zhǔn)差為Ks

例1:對一組數(shù):-2、-1、x、1、2,若x為不大于10的非負(fù)數(shù),方差為整數(shù),計算標(biāo)準(zhǔn)差

答案:根據(jù)S2=[(x12+x22+ …+xn2)-n2]/n 、 =x/5 、x=0或x=5 ∴S2=(10+4x2/5)/5 …

例2:已知S2=[(x1-5)2+(x2-5)2+…+(x30-5)2]/30 ,則各數(shù)據(jù)的平方和不可能等于①900 ②850 ③750 ④650

答案:∵S2=[(x12+x22+…+xn2)-n x拔2]/n

∴(x12+x22+…+xn2)-n x拔2≥0 故選④

8、

頻率分布

⑴組距:指每個小組的兩個端點之間的距離

分組數(shù)=(最大值-最小值)/組距

⑵頻數(shù):把數(shù)據(jù)總數(shù)分成若干小組,落在各個小組內(nèi)的數(shù)據(jù)的個數(shù)叫頻數(shù)

⑶頻率:每一小組的頻數(shù)與數(shù)據(jù)總數(shù)的比值叫這一小組的頻率

9、

畫頻率分布直方圖

⑴橫半軸:各組組距

縱半軸:頻率與組距的比。即 頻率/組距

⑵小長方形的高=頻率/組距=頻數(shù)/(數(shù)據(jù)總數(shù)×組距)

∵(1/數(shù)據(jù)總數(shù)×組距)為常數(shù)

∴小長方形的高與頻數(shù)成正比

⑶在頻率分布直方圖中,由于各小長方形的面積等于響應(yīng)各組的頻率、而各組頻率的和等于1,因此, 各小長方形面積的和等于1

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