來源:網(wǎng)絡(luò)資源 2023-02-01 19:17:32
構(gòu)造輔助線的常用方法
1.關(guān)于角平分線的輔助線
當(dāng)題目的條件中出現(xiàn)角平分線時(shí),要想到根據(jù)角平分線的性質(zhì)構(gòu)造輔助線。
角平分線具有兩條性質(zhì):
①角平分線具有對稱性;
②角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。
關(guān)于角平分線常用的輔助線方法:
(1)截取構(gòu)全等
如下左圖所示,OC是∠AOB的角平分線,D為OC上一點(diǎn),F(xiàn)為OB上一點(diǎn),若在OA上取一點(diǎn)E,使得OE=OF,并連接DE,則有△OED≌△OFD,從而為我們證明線段、角相等創(chuàng)造了條件。
例:如上右圖所示,AB//CD,BE平分∠ABC,CE平分∠BCD,點(diǎn)E在AD上,求證:BC=AB+CD。
提示:在BC上取一點(diǎn)F使得BF=BA,連結(jié)EF。
(2)角分線上點(diǎn)向角兩邊作垂線構(gòu)全等
利用角平分線上的點(diǎn)到兩邊距離相等的性質(zhì)來證明問題。如下左圖所示,過∠AOB的平分線OC上一點(diǎn)D向角兩邊OA、OB作垂線,垂足為E、F,連接DE、DF。
則有:DE=DF,△OED≌△OFD。
例:如上右圖所示,已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC, CD=BC。求證:∠ADC+∠B=180
(3)作角平分線的垂線構(gòu)造等腰三角形
如下左圖所示,從角的一邊OB上的一點(diǎn)E作角平分線OC的垂線EF,使之與角的另一邊OA相交,則截得一個(gè)等腰三角形(△OEF),垂足為底邊上的中點(diǎn)D,該角平分線又成為底邊上的中線和高,以利用中位線的性質(zhì)與等腰三角形的三線合一的性質(zhì)。
如果題目中有垂直于角平分線的線段,則延長該線段與角的另一邊相交,從而得到一個(gè)等腰三角形,可總結(jié)為:“延分垂,等腰歸”。
例:如上右圖所示,已知∠BAD=∠DAC,AB>AC,CD⊥AD于D,H是BC中點(diǎn)。
求證:DH=(AB-AC)
提示:延長CD交AB于點(diǎn)E,則可得全等三角形。問題可證。
(4)作平行線構(gòu)造等腰三角形
作平行線構(gòu)造等腰三角形分為以下兩種情況:
①如下左圖所示,過角平分線OC上的一點(diǎn)E作角的一邊OA的平行線DE,從而構(gòu)造等腰三角形ODE。
②如下右圖所示,通過角一邊OB上的點(diǎn)D作角平分線OC的平行線DH與另外一邊AO的反向延長線相交于點(diǎn)H,從而構(gòu)造等腰三角形ODH。
2.由線段和差想到的輔助線
01
遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時(shí),一般方法是截長補(bǔ)短法:
①截長:在長線段中截取一段等于另兩條中的一條,然后證明剩下部分等于另一條;
②補(bǔ)短:將一條短線段延長,延長部分等于另一條短線段,然后證明新線段等于長線段。
截長補(bǔ)短法作輔助線。
在△ABC中,AD平分∠BAC,∠ACB=2∠B,求證:AB=AC+CD。
因?yàn)锳D是∠BAC的角平分線
所以∠BAD=∠CAD
在AB上作AE=AC
又AD=AD
由SAS得:△EAD≌△CAD
所以∠EDA=∠CDA,ED=CD
又因?yàn)?ang;CDA=∠B+∠BAD, ∠BDA=∠C+∠CAD, ∠C=2∠B
所以∠BDE=∠BDA-∠EDA
=(∠C+∠CAD)-∠CDA
=(2∠B+CAD)-(∠B+∠BAD)
=∠B
所以△BED為等腰三角形
所以EB=ED=CD
所以AB=AE+EB=AC+CD
02
對于證明有關(guān)線段和差的不等式,通常會聯(lián)系到三角形中兩線段之和大于第三邊、之差小于第三邊,故可想辦法放在一個(gè)三角形中證明。
在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時(shí),如直接證不出來,可連接兩點(diǎn)或廷長某邊構(gòu)成三角形,使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個(gè)或幾個(gè)三角形中,再運(yùn)用三角形三邊的不等關(guān)系證明。
例1:已知如圖1-1:D、E為△ABC內(nèi)兩點(diǎn),求證:AB+AC>BD+DE+CE.
(法1)證明:將DE兩邊延長分別交AB、AC 于M、N,在△AMN中,AM+AN > MD+DE+NE;(1)
在△BDM中,MB+MD>BD; (2)
在△CEN中,CN+NE>CE; (3)
由(1)+(2)+(3)得:
AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE
∴AB+AC>BD+DE+EC
(法2)如圖1-2, 延長BD交 AC于F,延長CE交BF于G,在△ABF和△GFC和△GDE中有:
AB+AF> BD+DG+GF(三角形兩邊之和大于第三邊) (1)
GF+FC>GE+CE(同上) (2)
DG+GE>DE(同上) (3)
由(1)+(2)+(3)得:
AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DE
∴AB+AC>BD+DE+EC。
03
在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角時(shí)如直接證不出來時(shí),可連接兩點(diǎn)或延長某邊,構(gòu)造三角形,使求證的大角在某個(gè)三角形的外角的位置上,小角處于這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上,再利用外角定理:
例如:如圖2-1:已知D為△ABC內(nèi)的任一點(diǎn),求證:∠BDC>∠BAC。
分析:因?yàn)?ang;BDC與∠BAC不在同一個(gè)三角形中,沒有直接的聯(lián)系,可適當(dāng)添加輔助線構(gòu)造新的三角形,使∠BDC處于在外角的位置,∠BAC處于在內(nèi)角的位置。
證法一:
延長BD交AC于點(diǎn)E,這時(shí)∠BDC是△EDC的外角,
∴∠BDC>∠DEC,同理∠DEC>∠BAC,
∴∠BDC>∠BAC
證法二:
連接AD,并延長交BC于F
∵∠BDF是△ABD的外角
∴∠BDF>∠BAD,同理,∠CDF>∠CAD
∴∠BDF+∠CDF>∠BAD+∠CAD
即:∠BDC>∠BAC。
注意:利用三角形外角定理證明不等關(guān)系時(shí),通常將大角放在某三角形的外角位置上,小角放在這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上,再利用不等式性質(zhì)證明。
3.由中點(diǎn)想到的輔助線
在三角形中,如果已知一點(diǎn)是三角形某一邊上的中點(diǎn),那么首先應(yīng)該聯(lián)想到三角形的中線加倍延長中線及其相關(guān)性質(zhì)(等腰三角形底邊中線性質(zhì)),然后通過探索,找到解決問題的方法。
(1)中線把原三角形分成兩個(gè)面積相等的小三角形
即如圖1,AD是ΔABC的中線,則
SΔABD=SΔACD=1/2SΔABC(因?yàn)?Delta;ABD與ΔACD是等底同高的)。
例1 如圖2,ΔABC中,AD是中線,延長AD到E,使DE=AD,DF是ΔDCE的中線。已知ΔABC的面積為2,求:ΔCDF的面積。
(2)倍長中線
已知中點(diǎn)、中線問題應(yīng)想到倍長中線,由中線的性質(zhì)可知,一條中線將中點(diǎn)所在的線段平分,可得到一組等邊,通過倍長中線又可得到一組等邊及對頂角,因而可以得到一組全等三角形。如圖,延長AD到E,使得AD=AE,連結(jié)BE。
4.其他輔助線做法
(1)延長已知邊構(gòu)造三角形
在一些求證三角形問題中,延長某兩條線段(邊)相交,構(gòu)成一個(gè)封閉的圖形,可找到更多的相等關(guān)系,有助于問題的解決.
例4.如圖4,在△ABC中,AC=BC,∠B=90°,BD為∠ABC的平分線.若A點(diǎn)到直線BD的距離AD為a,求BE的長.
延長AD、BC交于F,
∵∠DAE+∠AED=90°,∠CBE+∠BEC=90°,∠AED=∠BEC,
∴∠DAE=∠CBE,
又∵∠ACF=∠BCE=90°,AC=BC,
∴△ACF≌△BCE,
∴BE=AF,
∵∠ABD=∠FBD,∠ADB=∠FDB=90°,BD=BD,
∴△ABD≌△FBD,
∴AD=FD=1/2AF, AD為a
∴BE=2a
(2)連接四邊形的對角線,把四邊形的問題轉(zhuǎn)化成為三角形來解決。
例如:如圖8-1:AB∥CD,AD∥BC 求證:AB=CD。
分析:圖為四邊形,我們只學(xué)了三角形的有關(guān)知識,必須把它轉(zhuǎn)化為三角形全等來解決。
(3)連接已知點(diǎn),構(gòu)造全等三角形
例如:已知:如圖10-1;AC、BD相交于O點(diǎn),且AB=DC,AC=BD,求證:∠A=∠D。
分析:要證∠A=∠D,可證它們所在的三角形△ABO和△DCO全等,而只有AB=DC和對頂角兩個(gè)條件,差一個(gè)條件,,難以證其全等,只有另尋其它的三角形全等,由AB=DC,AC=BD,若連接BC,則△ABC和△DCB全等,所以,證得∠A=∠D。
(4)取線段中點(diǎn)構(gòu)造全等三角形
例如:如圖11-1:AB=DC,∠A=∠D 求證:∠ABC=∠DCB。
分析:由AB=DC,∠A=∠D,想到如取AD的中點(diǎn)N,連接NB,NC,再由SAS公理有△ABN≌△DCN,故BN=CN,∠ABN=∠DCN。下面只需證∠NBC=∠NCB,再取BC的中點(diǎn)M,連接MN,則由SSS公理有△NBM≌△NCM,所以∠NBC=∠NCB。問題得證。
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