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2023年初中數(shù)學(xué)一次函數(shù)中等腰三角形存在性問題

來源:網(wǎng)絡(luò)資源 2023-02-03 20:09:17

中考真題

智能內(nèi)容

兩圓一線

一線,指的是線段的中垂線;

兩圓,指的是以線段長度為半徑,線段端點(diǎn)為圓心而產(chǎn)生的兩個(gè)圓。

首先,我們來解決第一個(gè)問題,等腰三角形的生成問題。

在平面內(nèi)有一線段AB,點(diǎn)C為平面內(nèi)任意一點(diǎn),若△ABC為等腰三角形,則這樣的點(diǎn)C有幾個(gè)?點(diǎn)C的軌跡又是什么?根據(jù)等腰三角形的性質(zhì),線段AB有可能為底邊,也有可能為腰,故有兩種基本情況。:線段AB為底邊,則有AC=BC,即點(diǎn)C到線段AB兩端點(diǎn)的距離相等,故點(diǎn)C在線段AB的中垂線上,此時(shí)點(diǎn)C有無數(shù)個(gè),點(diǎn)C的軌跡為直線(不取與AB相交的點(diǎn)),如下圖:

情況(2)

:線段AB為腰,則有:①AB=AC,即點(diǎn)C到點(diǎn)A的距離等于點(diǎn)B到點(diǎn)A的距離,則點(diǎn)C在以點(diǎn)A為圓心,AB長為半徑的圓上,此時(shí)點(diǎn)C有無數(shù)個(gè),點(diǎn)C的軌跡為圓(不取點(diǎn)B和與A、B共線點(diǎn)),如下圖:②AB=BC,即點(diǎn)C到點(diǎn)B的距離等于點(diǎn)A到點(diǎn)B的距離,則點(diǎn)C在以點(diǎn)B為圓心,AB長為半徑的圓上,此時(shí)點(diǎn)C有無數(shù)個(gè),點(diǎn)C的軌跡為圓(不取點(diǎn)A和與A、B共線的點(diǎn)),如下圖:

請(qǐng)記住這兩圓一線:

綜上所述,這樣的點(diǎn)C有無數(shù)個(gè),點(diǎn)C的軌跡為兩個(gè)圓和一條直線,為了方便記憶,我們簡(jiǎn)稱“兩圓一線”,這是等腰三角形存在性處理的基本定性策略。

- 嘉成老師解析 -

同學(xué)們~碰到一次函數(shù)跟幾何結(jié)合的題目,等腰三角形的存在性問題時(shí),要想到兩圓一線的方法;每一個(gè)點(diǎn)都有可能是定點(diǎn),所有分3種情況進(jìn)行討論,其中一種是找垂直平分線,另外兩種是以給定的一個(gè)點(diǎn)為圓心,線段長度為半徑,垂直平分線/圓與所給線段的交點(diǎn),即為所求。

其次,我們來解決第二個(gè)問題,等腰三角形的邊長問題。

求等腰三角形的邊長,我們通常將其轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離問題,所以,我們來推導(dǎo)一下平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式。已知平面內(nèi)兩點(diǎn)A(1,2)、B(6,4),求線段AB的長度。連接AB,以AB為斜邊,構(gòu)造直角邊與坐標(biāo)軸平行的直角三角形,利用勾股定理解題,如下圖:

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