2023年初中數(shù)學(xué)幾何證明思路及常用原理

證明題的思路

很多幾何證明題的思路往往是填加輔助線，分析已知、求證與圖形，探索證明。

對(duì)于證明題，有三種思考方式：

1.

對(duì)于一般簡單的題目，我們正向思考，輕而易舉可以做出，這里就不詳細(xì)講述了。

2.

顧名思義，就是從相反的方向思考問題。在初中數(shù)學(xué)中，逆向思維是非常重要的思維方式，在證明題中體現(xiàn)的更加明顯。

同學(xué)們認(rèn)真讀完一道題的題干后，不知道從何入手，建議你從結(jié)論出發(fā)。

例如：

可以有這樣的思考過程：要證明某兩條邊相等，那么結(jié)合圖形可以看出，只要證出某兩個(gè)三角形相等即可;要證三角形全等，結(jié)合所給的條件，看還缺少什么條件需要證明，證明這個(gè)條件又需要怎樣做輔助線，這樣思考下去…

這樣我們就找到了解題的思路，然后把過程正著寫出來就可以了。

3.正逆結(jié)合

對(duì)于從結(jié)論很難分析出思路的題目，可以結(jié)合結(jié)論和已知條件認(rèn)真的分析。

初中數(shù)學(xué)中，一般所給的已知條件都是解題過程中要用到的，所以可以從已知條件中尋找思路，比如給我們?nèi)�角形某邊中點(diǎn)，我們就要想到是否要連出中位線，或者是否要用到中點(diǎn)倍長法。

給我們梯形，我們就要想到是否要做高，或平移腰，或平移對(duì)角線，或補(bǔ)形等等。正逆結(jié)合，戰(zhàn)無不勝。

證明題要用到哪些原理

要掌握初中數(shù)學(xué)幾何證明題技巧，熟練運(yùn)用和記憶如下原理是關(guān)鍵…

下面歸類一下，多做練習(xí)，熟能生巧，遇到幾何證明題能想到采用哪一類型原理來解決問題…

1

1.兩全等三角形中對(duì)應(yīng)邊相等。

2.同一三角形中等角對(duì)等邊。

3.等腰三角形頂角的平分線或底邊的高平分底邊。

4.平行四邊形的對(duì)邊或?qū)�角線被交點(diǎn)分成的兩段相等。

5.直角三角形斜邊的中點(diǎn)到三頂點(diǎn)距離相等。

6.線段垂直平分線上任意一點(diǎn)到線段兩段距離相等。

7.角平分線上任一點(diǎn)到角的兩邊距離相等。

8.過三角形一邊的中點(diǎn)且平行于第三邊的直線分第二邊所成的線段相等。

9.同圓(或等圓)中等弧所對(duì)的弦或與圓心等距的兩弦或等圓心角、圓周角所對(duì)的弦相等。

10.圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線的切線長相等或圓內(nèi)垂直于直徑的弦被直徑分成的兩段相等。

11.兩前項(xiàng)(或兩后項(xiàng))相等的比例式中的兩后項(xiàng)(或兩前項(xiàng))相等。

12.兩圓的內(nèi)(外)公切線的長相等。

13.等于同一線段的兩條線段相等。

2

1.兩全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等。

2.同一三角形中等邊對(duì)等角。

3.等腰三角形中，底邊上的中線(或高)平分頂角。

4.兩條平行線的同位角、內(nèi)錯(cuò)角或平行四邊形的對(duì)角相等。

5.同角(或等角)的余角(或補(bǔ)角)相等。

6.同圓(或圓)中，等弦(或弧)所對(duì)的圓心角相等，圓周角相等，弦切角等于它所夾的弧對(duì)的圓周角。

7.圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角。

8.相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等。

9.圓的內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對(duì)角。

10.等于同一角的兩個(gè)角相等。

3

1.等腰三角形的頂角平分線或底邊的中線垂直于底邊。

2.三角形中一邊的中線若等于這邊一半，則這一邊所對(duì)的角是直角。

3.在一個(gè)三角形中，若有兩個(gè)角互余，則第三個(gè)角是直角。

4.鄰補(bǔ)角的平分線互相垂直。

5.一條直線垂直于平行線中的一條，則必垂直于另一條。

6.兩條直線相交成直角則兩直線垂直。

7.利用到一線段兩端的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上。

8.利用勾股定理的逆定理。

9.利用菱形的對(duì)角線互相垂直。

10.在圓中平分弦(或弧)的直徑垂直于弦。

11.利用半圓上的圓周角是直角。

4

1.垂直于同一直線的各直線平行。

2.同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等或同旁內(nèi)角互補(bǔ)的兩直線平行。

3.平行四邊形的對(duì)邊平行。

4.三角形的中位線平行于第三邊。

5.梯形的中位線平行于兩底。

6.平行于同一直線的兩直線平行。

7.一條直線截三角形的兩邊(或延長線)所得的線段對(duì)應(yīng)成比例，則這條直線平行于第三邊。

5

1.作兩條線段的和，證明與第三條線段相等。

2.在第三條線段上截取一段等于第一條線段，證明余下部分等于第二條線段。

3.延長短線段為其二倍，再證明它與較長的線段相等。

4.取長線段的中點(diǎn)，再證其一半等于短線段。

5.利用一些定理(三角形的中位線、含30度的直角三角形、直角三角形斜邊上的中線、三角形的重心、相似三角形的性質(zhì)等)。

6

1.與證明線段的和、差、倍、分思路相同。

2.利用角平分線的定義。

3.三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。

7

1.同一三角形中，大角對(duì)大邊。

2.垂線段最短。

3.三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。

4.在兩個(gè)三角形中有兩邊分別相等而夾角不等，則夾角大的第三邊大。

5.同圓或等圓中，弧大弦大，弦心距小。

6.全量大于它的任何一部分。

8

1.同一三角形中，大邊對(duì)大角。

2.三角形的外角大于和它不相鄰的任一內(nèi)角。

3.在兩個(gè)三角形中有兩邊分別相等，第三邊不等，第三邊大的，兩邊的夾角也大。

4.同圓或等圓中，弧大則圓周角、圓心角大。

5.全量大于它的任何一部分。

9

1.利用相似三角形對(duì)應(yīng)線段成比例。

2.利用內(nèi)外角平分線定理。

3.平行線截線段成比例。

4.直角三角形中的比例中項(xiàng)定理即射影定理。

5.與圓有關(guān)的比例定理---相交弦定理、切割線定理及其推論。

6.利用比利式或等積式化得。

10

1.對(duì)角互補(bǔ)的四邊形的頂點(diǎn)共圓。

2.外角等于內(nèi)對(duì)角的四邊形內(nèi)接于圓。

3.同底邊等頂角的三角形的頂點(diǎn)共圓(頂角在底邊的同側(cè))。

4.同斜邊的直角三角形的頂點(diǎn)共圓。

5.到頂點(diǎn)距離相等的各點(diǎn)共圓。

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