2023年初中七下數(shù)學(xué)平面直角坐標(biāo)系難點匯總

一、坐標(biāo)

1、數(shù)軸

規(guī)定了原點、正方向、單位長度的直線叫數(shù)軸。

數(shù)軸上的點可以用一個數(shù)來表示，這個數(shù)叫這個點在數(shù)軸上的坐標(biāo)。

數(shù)軸上的點與實數(shù)(包括有理數(shù)與無理數(shù))一一對應(yīng)，數(shù)軸上的每一個點都有唯一的一個數(shù)與之對應(yīng)。

2、平面直角坐標(biāo)系

由互相垂直、且原點重合的兩條數(shù)軸組成。

橫向(水平)方向的為橫軸(x軸)，縱向(豎直)方向的為縱軸(y軸)，平面直角坐標(biāo)系上的任一點，都可用一對有序?qū)崝?shù)對來表示位置，這對有序?qū)崝?shù)對就叫這點的坐標(biāo)。

(即是用有順序的兩個數(shù)來表示，注：x在前，y在后，不能隨意更改)

坐標(biāo)平面內(nèi)的點與有序?qū)崝?shù)對是一一對應(yīng)的，每一個點，都有唯一的一對有序?qū)崝?shù)對與之對應(yīng)。

二、象限及坐標(biāo)平面內(nèi)點的特點

1、四個象限

平面直角坐標(biāo)系把坐標(biāo)平面分成四個象限，從右上部分開始，按逆時針方向分別叫第一象限(或第Ⅰ象限)、第二象限(或第Ⅱ象限)、第三象限(第Ⅲ象限)和第四象限(或第Ⅳ象限)。

注：ⅰ、坐標(biāo)軸(x軸、y軸)上的點不屬于任何一個象限。例 點A(3，0)和點B(0，-5)

ⅱ、平面直角坐標(biāo)系的原點發(fā)生改變，則點的坐標(biāo)相應(yīng)發(fā)生改變;坐標(biāo)軸的單位長度發(fā)生改變，點的坐標(biāo)也相應(yīng)發(fā)生改變。

2、坐標(biāo)平面內(nèi)點的位置特點

①、坐標(biāo)原點的坐標(biāo)為(0，0);

②、第一象限內(nèi)的點，x、y同號，均為正;

③、第二象限內(nèi)的點，x、y異號，x為負，y為正;

④、第三象限內(nèi)的點，x、y同號，均為負;

⑤、第四象限內(nèi)的點，x、y異號，x為正，y為負;

⑥、橫軸(x軸)上的點，縱坐標(biāo)為0，即(x，0)，所以，橫軸也可寫作：y=0 (表示一條直線)

⑦、縱軸(y軸)上的點，橫坐標(biāo)為0，即(0，y),所以，縱橫也可寫作：x=0 (表示一條直線)

3、點到坐標(biāo)軸的距離

坐標(biāo)平面內(nèi)的點的橫坐標(biāo)的絕對值表示這點到縱軸(y軸)的距離，而縱坐標(biāo)的絕對值表示這點到橫軸(x軸)的距離。

注: ①、已知點的坐標(biāo)求距離，只有一個結(jié)果，但已知距離求坐標(biāo)，則因為點的坐標(biāo)有正有負，可能有多個解的情況，應(yīng)注意不要丟解。

②、坐標(biāo)平面內(nèi)任意兩點A(x1,y1)、B(x2,y2)之間的距離公式為：d = 根號下[(x1-x2)^2 + (y1-y2)^2]

4、坐標(biāo)平面內(nèi)對稱點坐標(biāo)的特點

①、一個點A(a,b)關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)為A'(a,-b),特點為：x不變，y相反;

②、一個點A(a,b)關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)為A'(-a,b),特點為：y不變，x相反;

③、一個點A(a,b)關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)為A'(-a,-b)，特點為：x、y均相反。

5、平行于坐標(biāo)軸的直線的表示

①、平行于橫軸(x軸)的直線上的任意一點，其橫坐標(biāo)不同，縱坐標(biāo)均相等，所以，可表示為：y=a(a為縱坐標(biāo))的形式，a的絕對值表示這條直線到x軸的距離，直線上兩點之間的距離等于這兩點橫坐標(biāo)之差的絕對值;

②、平行于縱軸(y軸)的直線上的任意一點，其縱坐標(biāo)不同，橫坐標(biāo)均相等，所以，可表示為：x=b(b為橫坐標(biāo))的形式，b的絕對值表示這條直線到y(tǒng)軸的距離，直線上兩點之間的距離等于這兩點縱坐標(biāo)之差的絕對值。

6、象限角平分線的特點

①、第一、三象限的角平分線可表示為y=x的形式，即角平分線上的點的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)相等(同號);

②、第二、四象限的角平分線可表示為y=-x的形式，即角平分線的點的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)互為相反數(shù)(異號)。

三、坐標(biāo)方法的簡單應(yīng)用

1、求面積

①、已知三角形的頂點坐標(biāo)求三角形的面積

將坐標(biāo)平面上的三角形的面積轉(zhuǎn)化為幾個圖形的面積的組合(相加)或分解(相減)，即將要求的三角形面積轉(zhuǎn)化為大的多邊形(如矩形、梯形)與一個或幾個較小的三角形面積之差;

②、已知多邊形各頂點坐標(biāo)求多邊形的面積

將坐標(biāo)平面上的多邊形的面積分割成幾個規(guī)則的圖形組合的面積之和，或轉(zhuǎn)化為一個更大的多邊形(例如矩形或梯形)與一個或幾個較小的三角形面積之差。

2、平移

①、點的平移

一個點左、右(水平)平移，橫坐標(biāo)改變，縱坐標(biāo)不變。具體為：向左平移幾個單位，則橫坐標(biāo)減少幾個單位;向右平移幾個單位，則橫坐標(biāo)增加幾個單位。“左減右加”

一個點上、下(豎直)平移，縱坐標(biāo)改變，橫坐標(biāo)不變。具體為：向下平移幾個單位，則縱坐標(biāo)減少幾個單位;向上平移幾個單位，則縱坐標(biāo)增加幾個單位。“下減上加”

②、圖形的平移

圖形是由無數(shù)個點組成的，所以，圖形的平移實質(zhì)上就是點的平移。關(guān)鍵是把圖形的各個頂點按要求橫向或縱向平移，描出平移后的對應(yīng)頂點，再連接全部對應(yīng)頂點即可。

注：圖形平移后的新圖形與原圖形在形狀、大小方面是完全相同的，唯一改變的是原圖形的位置。

3、中點坐標(biāo)公式

平面直角坐標(biāo)系內(nèi)任意兩點M(a1,b1)、N(a2,b2)。

它們的中點的坐標(biāo)為：((a1+a2)/2 ,(b1+b2)/2 )

一、坐標(biāo)

1、數(shù)軸

規(guī)定了原點、正方向、單位長度的直線叫數(shù)軸。

數(shù)軸上的點可以用一個數(shù)來表示，這個數(shù)叫這個點在數(shù)軸上的坐標(biāo)。

數(shù)軸上的點與實數(shù)(包括有理數(shù)與無理數(shù))一一對應(yīng)，數(shù)軸上的每一個點都有唯一的一個數(shù)與之對應(yīng)。

2、平面直角坐標(biāo)系

由互相垂直、且原點重合的兩條數(shù)軸組成。

橫向(水平)方向的為橫軸(x軸)，縱向(豎直)方向的為縱軸(y軸)，平面直角坐標(biāo)系上的任一點，都可用一對有序?qū)崝?shù)對來表示位置，這對有序?qū)崝?shù)對就叫這點的坐標(biāo)。

(即是用有順序的兩個數(shù)來表示，注：x在前，y在后，不能隨意更改)

坐標(biāo)平面內(nèi)的點與有序?qū)崝?shù)對是一一對應(yīng)的，每一個點，都有唯一的一對有序?qū)崝?shù)對與之對應(yīng)。

二、象限及坐標(biāo)平面內(nèi)點的特點

1、四個象限

平面直角坐標(biāo)系把坐標(biāo)平面分成四個象限，從右上部分開始，按逆時針方向分別叫第一象限(或第Ⅰ象限)、第二象限(或第Ⅱ象限)、第三象限(第Ⅲ象限)和第四象限(或第Ⅳ象限)。

注：ⅰ、坐標(biāo)軸(x軸、y軸)上的點不屬于任何一個象限。例 點A(3，0)和點B(0，-5)

ⅱ、平面直角坐標(biāo)系的原點發(fā)生改變，則點的坐標(biāo)相應(yīng)發(fā)生改變;坐標(biāo)軸的單位長度發(fā)生改變，點的坐標(biāo)也相應(yīng)發(fā)生改變。

2、坐標(biāo)平面內(nèi)點的位置特點

①、坐標(biāo)原點的坐標(biāo)為(0，0);

②、第一象限內(nèi)的點，x、y同號，均為正;

③、第二象限內(nèi)的點，x、y異號，x為負，y為正;

④、第三象限內(nèi)的點，x、y同號，均為負;

⑤、第四象限內(nèi)的點，x、y異號，x為正，y為負;

⑥、橫軸(x軸)上的點，縱坐標(biāo)為0，即(x，0)，所以，橫軸也可寫作：y=0 (表示一條直線)

⑦、縱軸(y軸)上的點，橫坐標(biāo)為0，即(0，y),所以，縱橫也可寫作：x=0 (表示一條直線)

3、點到坐標(biāo)軸的距離

坐標(biāo)平面內(nèi)的點的橫坐標(biāo)的絕對值表示這點到縱軸(y軸)的距離，而縱坐標(biāo)的絕對值表示這點到橫軸(x軸)的距離。

注: ①、已知點的坐標(biāo)求距離，只有一個結(jié)果，但已知距離求坐標(biāo)，則因為點的坐標(biāo)有正有負，可能有多個解的情況，應(yīng)注意不要丟解。

②、坐標(biāo)平面內(nèi)任意兩點A(x1,y1)、B(x2,y2)之間的距離公式為：d = 根號下[(x1-x2)^2 + (y1-y2)^2]

4、坐標(biāo)平面內(nèi)對稱點坐標(biāo)的特點

①、一個點A(a,b)關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)為A'(a,-b),特點為：x不變，y相反;

②、一個點A(a,b)關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)為A'(-a,b),特點為：y不變，x相反;

③、一個點A(a,b)關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)為A'(-a,-b)，特點為：x、y均相反。

5、平行于坐標(biāo)軸的直線的表示

①、平行于橫軸(x軸)的直線上的任意一點，其橫坐標(biāo)不同，縱坐標(biāo)均相等，所以，可表示為：y=a(a為縱坐標(biāo))的形式，a的絕對值表示這條直線到x軸的距離，直線上兩點之間的距離等于這兩點橫坐標(biāo)之差的絕對值;

②、平行于縱軸(y軸)的直線上的任意一點，其縱坐標(biāo)不同，橫坐標(biāo)均相等，所以，可表示為：x=b(b為橫坐標(biāo))的形式，b的絕對值表示這條直線到y(tǒng)軸的距離，直線上兩點之間的距離等于這兩點縱坐標(biāo)之差的絕對值。

6、象限角平分線的特點

①、第一、三象限的角平分線可表示為y=x的形式，即角平分線上的點的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)相等(同號);

②、第二、四象限的角平分線可表示為y=-x的形式，即角平分線的點的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)互為相反數(shù)(異號)。

三、坐標(biāo)方法的簡單應(yīng)用

1、求面積

①、已知三角形的頂點坐標(biāo)求三角形的面積

將坐標(biāo)平面上的三角形的面積轉(zhuǎn)化為幾個圖形的面積的組合(相加)或分解(相減)，即將要求的三角形面積轉(zhuǎn)化為大的多邊形(如矩形、梯形)與一個或幾個較小的三角形面積之差;

②、已知多邊形各頂點坐標(biāo)求多邊形的面積

將坐標(biāo)平面上的多邊形的面積分割成幾個規(guī)則的圖形組合的面積之和，或轉(zhuǎn)化為一個更大的多邊形(例如矩形或梯形)與一個或幾個較小的三角形面積之差。

2、平移

①、點的平移

一個點左、右(水平)平移，橫坐標(biāo)改變，縱坐標(biāo)不變。具體為：向左平移幾個單位，則橫坐標(biāo)減少幾個單位;向右平移幾個單位，則橫坐標(biāo)增加幾個單位。“左減右加”

一個點上、下(豎直)平移，縱坐標(biāo)改變，橫坐標(biāo)不變。具體為：向下平移幾個單位，則縱坐標(biāo)減少幾個單位;向上平移幾個單位，則縱坐標(biāo)增加幾個單位。“下減上加”

②、圖形的平移

圖形是由無數(shù)個點組成的，所以，圖形的平移實質(zhì)上就是點的平移。關(guān)鍵是把圖形的各個頂點按要求橫向或縱向平移，描出平移后的對應(yīng)頂點，再連接全部對應(yīng)頂點即可。

注：圖形平移后的新圖形與原圖形在形狀、大小方面是完全相同的，唯一改變的是原圖形的位置。

3、中點坐標(biāo)公式

平面直角坐標(biāo)系內(nèi)任意兩點M(a1,b1)、N(a2,b2)。

它們的中點的坐標(biāo)為：((a1+a2)/2 ,(b1+b2)/2 )

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