一、實(shí)際問(wèn)題與二元一次方程組的思路
1.基本思路
列方程組解應(yīng)用題，是把“未知”轉(zhuǎn)換成“已知”的重要方法，它的關(guān)鍵是把已知量和未知量聯(lián)系起來(lái)，找出題目中的等量關(guān)系。一般來(lái)說(shuō)，有幾個(gè)未知量就必須列出幾個(gè)方程，所列方程必須滿足：①方程兩邊表示的是同類(lèi)量。②同類(lèi)量的單位要統(tǒng)一。③方程兩邊的數(shù)要相等。
2.解應(yīng)用題一般步驟
①設(shè)：用兩個(gè)字母表示問(wèn)題中的兩個(gè)未知數(shù)。②列：列出方程組，要分析題意找出兩個(gè)等量關(guān)系，根據(jù)等量關(guān)系列出方程組。③解：解方程組，求出未知數(shù)的值。④答：寫(xiě)出答案。
3.要點(diǎn)詮釋
①“設(shè)”“答”兩步，都要寫(xiě)清單位名稱(chēng);②一般來(lái)說(shuō)，設(shè)幾個(gè)未知數(shù)就應(yīng)該列出幾個(gè)方程并組成方程組。
二、八大典型例題詳解
1.和差倍數(shù)問(wèn)題
和差問(wèn)題是已知兩個(gè)數(shù)的和或這兩個(gè)數(shù)的差，以及這兩個(gè)數(shù)之間的倍數(shù)關(guān)系，求這兩個(gè)數(shù)各是多少。
【典型例題】
甲、乙兩人分別以不變的速度打字，2分鐘共打了240個(gè)字，已知甲每分鐘比乙多打10個(gè)字。問(wèn)甲、乙兩人每分鐘各打多少個(gè)字?
【思路點(diǎn)撥】
由甲、乙兩人2分鐘共打了240個(gè)字，可以得到第一個(gè)和的等量關(guān)系式，再由甲每分鐘比乙多打10個(gè)字可以得到第二個(gè)差的等量關(guān)系式，組成方程組求解即可。
【參考答案】
解：設(shè)甲每分鐘打x個(gè)字，乙每分鐘打y個(gè)字。根據(jù)題意得2(x+y)=240，x-y=10解得x=65，y=55答：甲每分鐘打65個(gè)字，乙每分鐘打55個(gè)字。
2.產(chǎn)品配套問(wèn)題
總?cè)藬?shù)等于生產(chǎn)各個(gè)產(chǎn)品的人數(shù)之和，各個(gè)產(chǎn)品數(shù)量之間的比例符合整體要求。
【典型例題】
某車(chē)間有22名工人生產(chǎn)螺釘和螺母，每人每天平均可以生產(chǎn)螺釘1200個(gè)，或生產(chǎn)螺母2000個(gè)，一個(gè)螺釘要配兩個(gè)螺母，為了使每天生產(chǎn)的產(chǎn)品正好配套，應(yīng)該分配多少名工人生產(chǎn)螺釘，多少名工人生產(chǎn)螺母?
【思路點(diǎn)撥】
本題的第一個(gè)等量關(guān)系比較容易得出，即生產(chǎn)螺釘和螺母的工人共有22名，第二個(gè)等量關(guān)系的得出要弄清螺釘與螺母是如何配套的，即螺母的數(shù)量是螺釘?shù)臄?shù)量的2倍(注意：別把2倍的關(guān)系寫(xiě)反)。
【參考答案】
解：設(shè)分配x名工人生產(chǎn)螺釘，y名工人生產(chǎn)螺母。根據(jù)題意得x+y=22，2×1200x=2000y解得x=10，y=12答：應(yīng)該分配10名工人生產(chǎn)螺釘，12名工人生產(chǎn)螺母。
3.工作量問(wèn)題
①我們?cè)诮鉀Q工程問(wèn)題時(shí)通常把工作總量看成1。②工作量=工作效率×工作時(shí)間。③總工作量=每個(gè)個(gè)體工作量之和。④工作效率=工作量÷工作時(shí)間(即單位時(shí)間的工作量)。⑤工作效率=1÷完成工作的總時(shí)間。
【典型例題】
現(xiàn)要整理一批文件，由1個(gè)人完成需要40個(gè)小時(shí)，計(jì)劃由一部分人先做4小時(shí)，再增加2人和他們一起再做8小時(shí)，完成這項(xiàng)任務(wù)，假設(shè)這些人的工作效率都相同，則應(yīng)先安排多少人工作?
【思路點(diǎn)撥】
首先將工作總量設(shè)成1，可以得到每人的工作效率，再根據(jù)x人先做4小時(shí)可以完成的工作量，和增加2人后，(x+2)人工作8小時(shí)完成的工作量之和，等于總量1，可以列出方程，解方程求解即可。
【參考答案】
解：設(shè)總工作量為1，應(yīng)先安排x人工作，則每個(gè)人的工作效率為0.025。
根據(jù)題意得4x×0.025+8(x+2)×0.025=1
解得x=2
答：應(yīng)先安排2人工作。
4.利潤(rùn)問(wèn)題
①商品利潤(rùn)=商品售價(jià)-商品進(jìn)價(jià)。②利潤(rùn)率=利潤(rùn)÷進(jìn)價(jià)×100%。
【典型例題】
商店新進(jìn)一批商品準(zhǔn)備出售，若打8折出售，則10天可以售完，并能獲利10000元;若打7.5折出售8天可以售完，可獲利8000元，商品存放一天需要100元的存貨費(fèi)，求這批商品的本錢(qián)(購(gòu)貨價(jià))和預(yù)售總價(jià)各是多少?
【思路點(diǎn)撥】
本題有兩個(gè)未知數(shù)，即商品本錢(qián)和預(yù)售總價(jià)，也有兩個(gè)明顯的等量關(guān)系，即兩種打折出售的獲利情況，根據(jù)售價(jià)-成本-存貨費(fèi)用=利潤(rùn)，可以列出方程組求解即可。
【參考答案】
解：設(shè)這批商品的本錢(qián)是x元，預(yù)售總價(jià)是y元。
根據(jù)題意得0.8y-x-10×100=10000，0.75y-x-8×100=8000
解得x=24200，y=4400
答：這批商品的本錢(qián)是24200元，預(yù)售總價(jià)是44000元。
5.行程問(wèn)題
①路程=速度×時(shí)間。②相遇問(wèn)題：快行距+慢行距=原距追及問(wèn)題。③快行距-慢行距=原距航行問(wèn)題。④順?biāo)?風(fēng))速度=靜水(風(fēng))速度+水流(風(fēng))速度。⑤逆水(風(fēng))速度=靜水(風(fēng))速度-水流(風(fēng))速度。
【典型例題】
A、B兩地相距480千米，一列慢車(chē)從A地開(kāi)出，一列快車(chē)從B地開(kāi)出。如果兩車(chē)同時(shí)開(kāi)出相向而行，那么3小時(shí)后相遇;如果兩車(chē)同時(shí)開(kāi)出同向(沿BA方向)而行，那么快車(chē)12小時(shí)可追上慢車(chē)，求快車(chē)與慢車(chē)的速度。
【思路點(diǎn)撥】
這個(gè)問(wèn)題可以利用路程、速度和時(shí)間之間的關(guān)系列方程(組)求解，要明確快車(chē)與慢車(chē)的路程與A、B兩地的距離之間的關(guān)系，相向而行兩車(chē)相遇時(shí)，快車(chē)路程+慢車(chē)路程=A、B兩地距離;同向而行兩車(chē)相遇時(shí)，快車(chē)路程-慢車(chē)路程=A、B兩地距離。
【參考答案】
解：設(shè)快車(chē)的速度為x千米每小時(shí)，慢車(chē)的速度為y千米每小時(shí)。
根據(jù)題意得3(x+y)=480，12(x-y)=480
解得x=100，y=60
答：快車(chē)的速度為100千米每小時(shí)，慢車(chē)的速度為60千米每小時(shí)。
6.存貸款問(wèn)題
①利息=本金×利率×期數(shù)。②本息和(本利和)=本金+利息。
【典型例題】
蔬菜種植專(zhuān)業(yè)戶徐先生要辦一個(gè)小型蔬菜加工廠，分別向銀行申請(qǐng)了甲、乙兩種貸款，共13萬(wàn)元，王先生每年須付利息6075元，已知甲種貸款的年利率為6%，乙種貸款的年利率為3.5%，則甲、乙兩種貸款分別是多少萬(wàn)元?
【思路點(diǎn)撥】
本題第一個(gè)等量關(guān)系式很好找就是甲、乙兩種貸款的和為13萬(wàn)元，第二個(gè)等量關(guān)系式則需要用到公式利息=本金×利率×期數(shù)。
【參考答案】
解：設(shè)甲種貸款x萬(wàn)元，乙種貸款y萬(wàn)元。由題意可得x+y=13，0.06x+0.035y=0.6075解得x=6.1，y=6.9答:甲種貸款是6.1萬(wàn)元，乙種貸款是6.9萬(wàn)元。
7.數(shù)字問(wèn)題
已知各數(shù)位上的數(shù)字，寫(xiě)出兩位數(shù)，三位數(shù)等這類(lèi)問(wèn)題一般設(shè)間接未知數(shù)，例如：若一個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字為a，十位數(shù)字為b，則這個(gè)兩位數(shù)可以表示為10b+a。
【典型例題】
有一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位上的數(shù)比十位上的數(shù)大5，如果把這兩個(gè)數(shù)的位置對(duì)換，那么所得的新數(shù)與原數(shù)的和是143，求這個(gè)兩位數(shù)。
【思路點(diǎn)撥】
本題中的等量關(guān)系：個(gè)位上的數(shù)-十位上的數(shù)=5;原數(shù)+新數(shù)=143。
【參考答案】
解：設(shè)兩位數(shù)個(gè)位上是x，十位上是y。
根據(jù)題意得x-y=5，(10y+x)+(10x+y)=143
解得x=9，y=4
答：這個(gè)兩位數(shù)是49。
8.方案問(wèn)題
在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，需合理安排，從幾種方案中，選擇最佳方案。方案選擇的題目較長(zhǎng)，有時(shí)方案不止一種，閱讀時(shí)應(yīng)抓住重點(diǎn),比較幾種方案得出最佳方案。
【典型例題】
已知用2輛A型車(chē)和1輛B型車(chē)裝滿貨物一次可運(yùn)貨10t;用1輛A型車(chē)和2輛B型車(chē)裝滿貨物一次可運(yùn)貨11t。某物流公司現(xiàn)有31t貨物，計(jì)劃同時(shí)租用A型車(chē)a輛，B型車(chē)b輛,一次運(yùn)完，且恰好每輛車(chē)都裝滿貨物。根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題。
(1)1輛A型車(chē)和1輛B型車(chē)都裝滿貨物一次可分別運(yùn)貨多少噸。
(2)請(qǐng)你幫該物流公司設(shè)計(jì)租車(chē)方案。
(3)若A型車(chē)每輛需租金100元/次，B型車(chē)每輛需租金120元/次。出最省錢(qián)的租車(chē)方案，并求出最少租車(chē)費(fèi)。
【思路點(diǎn)撥】
第(1)問(wèn)中，兩個(gè)等量關(guān)系均可利用貨物的總噸數(shù)等于兩種車(chē)型所運(yùn)貨物噸數(shù)之和，每種車(chē)型所運(yùn)貨物的噸數(shù)等于該種車(chē)的數(shù)量乘以每輛車(chē)裝滿貨物時(shí)可運(yùn)輸?shù)呢浳飮崝?shù)，列出方程即可。第(2)問(wèn)中，根據(jù)貨物的總噸數(shù)等于兩種車(chē)型所運(yùn)貨物噸數(shù)之和列出方程，求解即可。第(3)問(wèn)中，總費(fèi)用等于A型車(chē)的總費(fèi)用加上B型車(chē)的總費(fèi)用，比較三種方案的費(fèi)用得出最省錢(qián)的租車(chē)方案。
【參考答案】
解：(1)設(shè)1輛A型車(chē)裝滿貨物可運(yùn)貨x噸，1輛B型車(chē)裝滿貨物可運(yùn)貨y噸。
根據(jù)題意得2x+y=10，x+2y=11
解得x=3，y=4
答：1輛A型車(chē)裝滿貨物一次可運(yùn)貨3噸，1輛B型車(chē)裝滿貨物一次可運(yùn)貨4噸。
(2)設(shè)使用a輛A型車(chē)，b輛B型車(chē)。
根據(jù)題意得3a+4b=31
由于a、b均為正整數(shù)
所以a、b的取值可分別為1，7或5，4或9，1
答：該物流公司有三種租車(chē)方案。方案一為租用A型車(chē)1輛，B型車(chē)7輛;方案二為租用A型車(chē)5輛，B型車(chē)4輛;方案三為租用A型車(chē)9輛，B型車(chē)1輛。
(3)根據(jù)題意得
方案一：100×1+120×7=940
方案二：100×5+120×4=980
方案三：100×9+120×1=1020
答：最省錢(qián)的租車(chē)方案為租用1輛A型車(chē)和7輛B型車(chē)，最少租車(chē)費(fèi)為940元。
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