2024年初中數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)：反比例函數(shù)及其綜合運(yùn)用

一、反比例函數(shù)的定義

一般地，形如k/x(k為常數(shù)，k≠0)的函數(shù)稱為反比例函數(shù)，其中x是自變量，y是函數(shù)，自變量x的取值范圍是不等于0的一切實(shí)數(shù).

二、確定反比例函數(shù)的關(guān)系式

由于反比例函數(shù)中，只有一個(gè)待定系數(shù)k，因此只需要知道一.對(duì)x、 y的對(duì)應(yīng)值或圖像上的一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出k的值，從而確定其解析式用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)關(guān)系式的一般步驟是:

(1)設(shè)所求的反比例函數(shù)為: y=k/x(k≠0);

(2)把已知條件(自變量與函數(shù)的對(duì)應(yīng)值)代入關(guān)系式，得到關(guān)于待定系數(shù)k的方程:

(3) 解方程求出待定系數(shù)k的值:

(4)把求得的k值代回所設(shè)的函數(shù)關(guān)系式中.

三、反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)

1、反比例函數(shù)的圖像特征:

反比例函數(shù)的圖像是雙曲線，它有兩個(gè)分支，這兩個(gè)分支分別位于第一、三象限或第二、四象限;

反比例函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，永遠(yuǎn)不會(huì)與x 軸、y軸相交，只是無(wú)限靠近兩坐標(biāo)軸.

反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)

1.會(huì)用描點(diǎn)的方法畫反比例函數(shù)的圖象;(重點(diǎn))

2.理解反比例函數(shù)圖象的性質(zhì).(重點(diǎn)，難點(diǎn))

合作探究

探究點(diǎn)一：反比例函數(shù)的圖象

【類型一】反比例函數(shù)圖象的畫法

作函數(shù)y=的圖象.

解析：根據(jù)函數(shù)圖象的畫法，進(jìn)行列表、描點(diǎn)、連線即可.

解：列表：

描點(diǎn)、連線：

方法總結(jié)：作圖的一般步驟為：①列表;②描點(diǎn);③連線;④注明函數(shù)解析式.

【類型二】反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象位置的確定

在同一坐標(biāo)系中(水平方向是x軸)，函數(shù)y=和y=kx+3的圖象大致是(　　)

解析：A.由函數(shù)y=的圖象可知k>0與y=kx+3的圖象中k>0且過(guò)點(diǎn)(0，3)一致，故A選項(xiàng)正確;B.由函數(shù)y=的圖象可知k>0與y=kx+3的圖象中k>0且過(guò)點(diǎn)(0，3)矛盾，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤;C.由函數(shù)y=的圖象可知k<0與y=kx+3的圖象中k<0且過(guò)點(diǎn)(0，3)矛盾，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤;D.由函數(shù)y=的圖象可知k>0與y=kx+3的圖象中k<0且過(guò)點(diǎn)(0，3)矛盾，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選A.

方法總結(jié)：解答此類問(wèn)題時(shí)，通常先根據(jù)雙曲線圖象所在的象限確定k的符號(hào)，再確定一次函數(shù)的系數(shù)及經(jīng)過(guò)的點(diǎn)是否也符合圖案，如果符合，可能正確;如果不符合，一定錯(cuò)誤.

【類型三】實(shí)際問(wèn)題中函數(shù)圖象的確定

若按xL/min的速度向容積為20L的水池中注水，注滿水池需ymin.則所需時(shí)間ymin與注水速度xL/min之間的函數(shù)關(guān)系用圖象大致可表示為(　　)

解析：∵水池的容積為20L，∴xy=20，∴y=(x>0)，故選B.

方法總結(jié)：解答此類問(wèn)題要先根據(jù)題意列出反比例函數(shù)關(guān)系式，然后依據(jù)實(shí)際情況確定函數(shù)自變量的取值范圍，從而確定函數(shù)圖象.

【類型四】反比例函數(shù)圖象的對(duì)稱性

若正比例函數(shù)y=-2x與反比例函數(shù)y=圖象的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(-1，2)，則另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(　　)

A.(2，-1) B.(1，-2)

C.(-2，-1) D.(-2，1)

解析：∵正比例函數(shù)y=-2x與反比例函數(shù)y=的圖象均關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴兩函數(shù)的交點(diǎn)也關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.∵一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)是(-1，2)，∴另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)是(1，-2).故選B.

方法總結(jié)：反比例函數(shù)y=(k≠0)的圖象既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是一、三(或二、四)象限角平分線所在的直線，對(duì)稱中心是坐標(biāo)原點(diǎn).

探究點(diǎn)二：反比例函數(shù)的性質(zhì)

【類型一】根據(jù)解析式判定反比例函數(shù)的性質(zhì)

已知反比例函數(shù)y=-，下列結(jié)論不正確的是(　　)

A.圖象必經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-1，2)

B.y隨x的增大而增大

C.圖象分布在第二、四象限

D.若x>1，則-2

解析：A.(-1，2)滿足函數(shù)解析式，則圖象必經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-1，2)，命題正確;B.在第二、四象限內(nèi)y隨x的增大而增大，忽略了x的取值范圍，命題錯(cuò)誤;C.命題正確;D.根據(jù)y=-的圖象可知，在第四象限內(nèi)命題正確.故選B.

方法總結(jié)：解答此類問(wèn)題要熟記反比例函數(shù)圖象的性質(zhì).

【類型二】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)判定系數(shù)的取值范圍

在反比例函數(shù)y=的每一條曲線上，y都隨x的增大而減小，則k的值可以是(　　)

A.-1B.3 C.1 D.2

解析：∵反比例函數(shù)y=的圖象在每一條曲線上，y都隨x的增大而減小，∴1-k>0，解得k<1.故選A.

方法總結(jié)：對(duì)于函數(shù)y=，當(dāng)k>0時(shí)，其圖象在第一、三象限，在每個(gè)象限內(nèi)y隨x的增大而減小;當(dāng)k<0時(shí)，在第二、四象限，在每個(gè)象限內(nèi)y隨x的增大而增大，熟記這些性質(zhì)在解題時(shí)能事半功倍.

三、板書設(shè)計(jì)

1.反比例函數(shù)的圖象：雙曲線既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形.

2.反比例函數(shù)的性質(zhì)：

(1)當(dāng)k>0時(shí)，雙曲線的兩支分別位于第一、三象限，在每個(gè)象限內(nèi)y值隨x值的增大而減小;

(2)當(dāng)k<0時(shí)，雙曲線的兩支分別位于第二、四象限，在每個(gè)象限內(nèi)y值隨x值的增大而增大.

3、反比例函數(shù)的性質(zhì)

(1)如圖1，當(dāng)k>0時(shí)，雙曲線的兩個(gè)分支分別位于第一、 三象限，在每個(gè)象限內(nèi)，y值隨x值的增大而減小:

(2) 如圖2，當(dāng)k<0時(shí)，雙曲線的兩個(gè)分支分別位于第二、四象限，在每個(gè)象限內(nèi)，y值隨x值的增大而增大:

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